[Esercizio] Polinomi intersettivi

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Sia \( P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) un polinomio. Diciamo che \(P \) è intersettivo se per ogni \(m \in \mathbb{N} \) esiste \(n \in \mathbb{N} \) tale che \( P(n) \equiv 0 \mod m \).

Dimostrare che se \( \deg P < 5 \) allora \(P \) è intersettivo se e solo se possiede almeno una radice razionale. Dimostrare che \( P(x) = x^5 + x^4+x^3 -19x^2-19x-19 \) è intersettivo ma non possiede radici razionali.

Hint:

Sia \(P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) e sia \(P(x) = \prod_{ 1 \leq i \leq r} P_i(x) \) la sua fattorizzazione in fattori irriducibili su \( \mathbb{Q} \), possiamo assumere che è unica assumendo che \(P\) è primitivo.
Notazione
a) Sia \( L \) il campo di spezzamento di \(P \) su \( \mathbb{Q} \).
b) Sia \( \theta_i \) una radice fissata di \(P_i \).
c) Sia \( K_i = \mathbb{Q}(\theta_i) \).
d) Sia ancora
\[ U:= \bigcup_{i=1}^{r} Gal(L/K_i) \]
e) Siano \( \Delta_i = \operatorname{disc}(P_i ) \) e \( R_i = \operatorname{Res}(P_i, P_i') \), rispettivamente il discriminante e il risultante di \(P_i \) con la sua derivata. È noto che \( \operatorname{Res}(P_i, P_i')=a_d \Delta_i \), dove \( a_{d} \) è il coefficiente di \(x^{d } \) in \( P_i \) e \(d = \deg P_i \).
f) Sia inoltre \( \delta = \prod_{1 \leq i \leq r} R_i \) e sia \( \delta = \prod_{1 \leq j \leq u} p_j^{\alpha_j} \) la sua fattorizzazione in numeri primi.
g) Per finire sia \( \Delta = \prod_{1 \leq j \leq u} p_j^{2\alpha_j+1} \)

Potete usare il seguente teorema
Teorema: 1) e 2) sono equivalenti
1) \(P\) è intersettivo
2) \(P\) possiede una radice \(\mod \Delta \) e
\[ \bigcup_{\sigma \in Gal(L/\mathbb{Q})} \sigma^{-1} U \sigma = Gal(L/\mathbb{Q})\]

[hydro1]

Per Chebotarev quella condizione è equivalente a dire che tutti gli elementi del gruppo di Galois di $P$ hanno un punto fisso. Ma nei gruppi di permutazione transitivi almeno un elemento non ha un punto fisso, quindi $P$ dev'essere riducibile. Questo uccide già i gradi $2,3$. In grado $4$ se $P$ non ha radici ed è riducibile allora è prodotto di due polinomi di grado $2$ irriducibili, e il suo gruppo di Galois può essere solo un $C_2$ generato da $(12)(34)$ oppure un $C_2\times C_2$ generato da $(12)$ e $(34)$. In ogni caso, il gruppo di Galois contiene un elemento senza punti fissi. Quindi dev'essere $\deg P\ge 5$.