Esercizio polinomi e zero divisori
Ciao 
non riesco a capire alcuni passaggi di un esercizio che non riuscivo a risolvere interamente e ho provato a guardare la soluzione dopo un po' di prove. Tuttavia anche qui non riesco a capire del tutto due punti della guidata che è molto stringata:
ora la mia idea che poi vedo è quella che segue la soluzione è cercare un k polinomio tale che $MCD(k,f)!=1$ o associato (quindi una costante) questo perché $zd$ è contenuto in $A-A^(xx)$
Quindi il primo passo che muove è scomporlo in irriducibili,$f=x^2-1=(x+1)(x-1)$ ma non capisco perché (primo dubbio diciamo) l'MCD sia da ricercarsi nei divisori impropri, perché uno proprio non può essere un MCD?
poi scrive: $MCD(k,f)=1,x+1,x-1,x^2-1$ da cui scarta ovviamente 1 e scarta $x^2-1$ in quanto è la classe zero (e per la definizione datami si esclude lo zero dagli zerodivisori)
(Il secondo dubbio nasce qui:) studiando $MCD(k,f)=x+1 =>k=q(x+1)$ cioè k è un multiplo di x+1 chiaramente, TUTTAVIA pone l'ulteriore richiesta che $x-1$ non divida $k$. Perché altrimenti dice che sarei nella classe zero, ma questo non lo capisco perché debba richiederlo, infatti se mai $x-1$ dividesse q e quindi a sua volta k, allora già a priori non troverei come MCD $x+1$ ma qualcosa del tipo $(x+1)(x-1)$, insomma q mi pare una costante dato che Q è campo e i MCD sono unici a meno di associati (quindi a meno di costanti fra i piedi XD).
Ringrazio.
EDIT: typoz
non riesco a capire alcuni passaggi di un esercizio che non riuscivo a risolvere interamente e ho provato a guardare la soluzione dopo un po' di prove. Tuttavia anche qui non riesco a capire del tutto due punti della guidata che è molto stringata:
Sia $A:=(QQ[x])/( (x^2-1) )$, descrivere gli zero divisori di A
$f=(x^2+1)$ è quindi l'ideale per cui quoziento.
ora la mia idea che poi vedo è quella che segue la soluzione è cercare un k polinomio tale che $MCD(k,f)!=1$ o associato (quindi una costante) questo perché $zd$ è contenuto in $A-A^(xx)$
Quindi il primo passo che muove è scomporlo in irriducibili,$f=x^2-1=(x+1)(x-1)$ ma non capisco perché (primo dubbio diciamo) l'MCD sia da ricercarsi nei divisori impropri, perché uno proprio non può essere un MCD?
poi scrive: $MCD(k,f)=1,x+1,x-1,x^2-1$ da cui scarta ovviamente 1 e scarta $x^2-1$ in quanto è la classe zero (e per la definizione datami si esclude lo zero dagli zerodivisori)
(Il secondo dubbio nasce qui:) studiando $MCD(k,f)=x+1 =>k=q(x+1)$ cioè k è un multiplo di x+1 chiaramente, TUTTAVIA pone l'ulteriore richiesta che $x-1$ non divida $k$. Perché altrimenti dice che sarei nella classe zero, ma questo non lo capisco perché debba richiederlo, infatti se mai $x-1$ dividesse q e quindi a sua volta k, allora già a priori non troverei come MCD $x+1$ ma qualcosa del tipo $(x+1)(x-1)$, insomma q mi pare una costante dato che Q è campo e i MCD sono unici a meno di associati (quindi a meno di costanti fra i piedi XD).
Ringrazio.
EDIT: typoz
Risposte
\(X^2+1\) è irriducibile su \(\mathbb Q\). Perché hai fattorizzato \(X^2-1\)? In generale, fattorizza in irriducibili $p$; allora conosci tutti i divisori dello zero di \(k[X]/p\), perché ti basta prendere i divisori di $p$.
Porca miseria ho sbagliato l'unica cosa che non dovevo sbaglaire: il testo. C'era un typo è $x^2-1$ ovviamente sennò sarebbe irriducibile.
Però quello che non capivo è
1)perché come MCD prenda solo la scomposizione in irriducibili, non posso scomporlo in riducibili?
2) E 2° il ragionamento sulla richiesta su q di cui sopra
Con la correzione credo sia più comprensibile, scusami
Però quello che non capivo è
1)perché come MCD prenda solo la scomposizione in irriducibili, non posso scomporlo in riducibili?
2) E 2° il ragionamento sulla richiesta su q di cui sopra
Con la correzione credo sia più comprensibile, scusami
Cosa vuol dire "scomporlo in riducibili"? 
Facciamo un esempio semplice, quali sono i divisori dello zero di \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\)?
Facciamo un esempio semplice, quali sono i divisori dello zero di \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\)?
"megas_archon":
Cosa vuol dire "scomporlo in riducibili"?
Uhm, intendevo trovare due polinomi che moltiplicati dessero f, però che non fossero per forza improprio ossia associati ad f o una costante (che essendo in un campo sono gli invertibili le costanti). Però mi sfugge perché tali due polinomi non possano essere massimi comun divisori
"megas_archon":
Facciamo un esempio semplice, quali sono i divisori dello zero di \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\)?
Direi che \(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\) è equivalente a $ZZ/(≡_(30))$ d'altra parte $Z_(30)^(xx)={k in ZZ_(30)|MCD(k,30)=1}$ quindi essendo in una classe resto modulo 30 ho da verificare tale condizione per $k in {1,...,29}$ quindi: $zd$ come insieme è contenuto in $ZZ_(30)-ZZ_(30)^(xx)-{0}$ ossia (essendo gli invertibili ${1,7,11,13,17,19,23,29}$, il che mi pare correto essendo la cardinalità $φ(30)=φ(3)φ(5)φ(2)=8$) gli zero divisori si troveranno in: ${2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28}$
Devo però pensare a un metodo più furbo per non farmi tutti i conti e ridurre ulteriormente lo studio oltre a questi. Ma non mi vengono furbate.
Se ho detto cavolate bacchettami pure eh . Ma vorrei davvero capire meglio
. Ma vorrei davvero capire meglio
Eh, sì, i divisori dello zero in \(\mathbb Z/30\) sono tutte le classi di equivalenza $[k]$ tali che $k$ divide 30 (non solo i suoi divisori primi).
In un anello di polinomi è la stessa cosa, del resto la cosa per cui quozienti nel tuo esercizio è square-free...
In un anello di polinomi è la stessa cosa, del resto la cosa per cui quozienti nel tuo esercizio è square-free...
"megas_archon":Tali che $k$ non è coprimo con $30$, vuoi dire.
tali che $k$ divide 30
Eh, sì
@Martino
Ok se non è coprimo mi torna possa essere zero divisore, ma non ho capito perché ho la certezza lo siano tutti zero divisori quegli elementi trovati.
Comunque questo risponde al mio secondo dubbio, ma il primo non riesco bene ancora a focalizzarlo, ossia perché nei polinomi l'MCD sia da ricercarsi nei divisori impropri, perché uno proprio non può essere un MCD. 'sta cosa mi affligge, perché deve essere una cosa scema ma non la capisco.
grazie ancora.
"Martino":Tali che $k$ non è coprimo con $30$, vuoi dire.[/quote]
[quote="megas_archon"]tali che $k$ divide 30
Ok se non è coprimo mi torna possa essere zero divisore, ma non ho capito perché ho la certezza lo siano tutti zero divisori quegli elementi trovati.
Comunque questo risponde al mio secondo dubbio, ma il primo non riesco bene ancora a focalizzarlo, ossia perché nei polinomi l'MCD sia da ricercarsi nei divisori impropri, perché uno proprio non può essere un MCD. 'sta cosa mi affligge, perché deve essere una cosa scema ma non la capisco.
grazie ancora.
"aritmetico":Non ho capito. Cosa è per te un divisore improprio?
non capisco perché (primo dubbio diciamo) l'MCD sia da ricercarsi nei divisori impropri, perché uno proprio non può essere un MCD?
In generale il MCD tra un qualsiasi $P(X)$ e $X^2-1$ può essere (associato a) solo $1$, $X-1$, $X+1$ oppure $X^2-1$. Ma nel primo caso $P(X)$ è invertibile modulo $X^2-1$, quindi non è uno zero-divisore, e nel quarto caso la classe di $P(X)$ è la classe nulla. Nel secondo e terzo caso la classe di $P(X)$ è uno zero-divisore non nullo perché
1. Se il MCD tra $P(X)$ e $X^2-1$ è $X-1$ allora la classe di $P(X)$ non è nulla e la classe di $(X+1)P(X)$ è nulla.
2. Se il MCD tra $P(X)$ e $X^2-1$ è $X+1$ allora la classe di $P(X)$ non è nulla e la classe di $(X-1)P(X)$ è nulla.
Quindi uno zero-divisore (non nullo) è la classe di un polinomio $P(X)$ con la proprietà che il MCD tra $P(X)$ e $X^2-1$ è (associato a) $X-1$ oppure $X+1$. Poi siccome $X^2-1$ ha grado $2$, possiamo scegliere $P(X)$ di grado minore o uguale a $1$ (col solito argomento della divisione con resto per $X^2-1$) e quindi risulta che gli zero-divisori (non nulli) sono esattamente le classi dei polinomi del tipo $a(X+1)$ e $a(X-1)$ con $0 ne a in QQ$.
La stessa cosa con $ZZ//30ZZ$, prendiamo $m$ il cui MCD (positivo) con $30$ è diverso da $1$ e da $30$, chiamiamolo $d$. Scrivendo $m=da$ e $30=db$ abbiamo $m ne a$ e $30 ne b$, inoltre $m$ non ha classe nulla (altrimenti il suo MCD con $30$ sarebbe $30$) e quindi è uno zero-divisore perché $b*m = d*ab = 30 d$ ha classe nulla.
Viceversa gli zero-divisori non nulli sono classi di interi il cui MCD positivo con $30$ è diverso da $1$ e da $30$ (questo lo lascio fare a te, avrai capito spero).
Probabilmente il mio dubbio era così stupido che non riuscivo a spiegarmi, però tra le righe della tua lunga risposta ve ne sono alcune che hanno risposto al mio dubbio.
Ora è chiaro e ti ringrazio molto.
PS:
Mi sembra debba essere: $b*m = d*ab = 30 a$, sbaglio?
Ora è chiaro e ti ringrazio molto.
PS:
chiamiamolo $d$. Scrivendo $m=da$ e $30=db$ abbiamo $m ne a$ e $30 ne b$, inoltre $m$ non ha classe nulla (altrimenti il suo MCD con $30$ sarebbe $30$) e quindi è uno zero-divisore perché $b*m = d*ab = 30 d$ ha classe nulla.
Mi sembra debba essere: $b*m = d*ab = 30 a$, sbaglio?
"aritmetico":Sì certo
Mi sembra debba essere: $b*m = d*ab = 30 a$
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