Esercizio polinomi campi finiti

[jJjjJ1]

Mi potete dire se svolgo correttamente?

Dire quanti sono i polinomi irriducibili di grado 2 in $Z_p [x]$ con p primo.

Sol:

Sappiamo che esiste un campo $E$ di ordine $p^2$, esso è il campo di spezzamento di $x^{p^2} - x = h$. Sia dunque $g$ irriducibile di $Z_p [x]$ e tale che $deg g = 2$, allora$(Z_p[x])/(g)$ è un campo di ordine $p^2$ e dunque isomorfo ad $E$. Dunque $E$ contiene le radici di $g$ ed essendo $g$ irriducibile si ha che $ g | h $ in $Z_p [ x ] $.
Consideriamo dunque $f$ fattore irriducibile di $h$. Si ha che se $a$ è radice di $f$ allora $a \in E$ e dunque $ Z_p( a ) \subset E$ e per la formula dei gradi $2 = [ E : Z_p(a)] * deg f$. Dunque i fattori irriducibili di $h$ hanno grado o 1 o 2, inoltre sono tutti distinti per la semplicità delle radici di $h$. Quelli di grado 1 sono tutti e soli quelli del tipo $x-b$ con $b \in Z_p$, dunque sono $p$, gli altri sono di ordine 2. Dunque abbiamo $p(p-1)/2$ irriducibili di grado 2.

[Studente Anonimo]

Giusto, ma così hai contato quelli monici. Per ottenerli tutti basta moltiplicare per $p-1$.

[jJjjJ1]

Si credevo si potessero considerare uguali a meno di invertibili

[Studente Anonimo]

? Non capisco l'obiezione. Hai semplicemente contato quelli monici.

Ah, c'è una formula che conta i polinomi monici irriducibili di un dato grado su $Z_p$, vedi qui.