Esercizio - Permutazioni (cicli disgiunti, orbite)
In [tex]$S_6$[/tex] si consideri [tex]$\tau = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 4 5 )$[/tex].
La sua scomposizione in cicli disgiunti è [tex]$\tau = (1 2 ) ( 3 4 6 5 )$[/tex] e [tex]$sgn (\tau ) = 1$[/tex]. Si chiede di calcolare [tex]$\tau^2 , \tau^3$[/tex]. Io trovo:
[tex]$\tau^2 = ( 3 6 ) ( 4 5 )$[/tex] e [tex]$\tau^3 = ( 1 2 ) ( 3 5 6 4 )$[/tex].
Devo scrivere queste tre permutazioni come prodotto di trasposizioni. [tex]$\tau$[/tex] è data in questa forma e la scomposizione in cicli disgiunti di [tex]$\tau^2$[/tex] è un prodotto di trasposizioni. Rimane [tex]$\tau^3$[/tex]; trovo: [tex]$\tau^3 = (1 2 ) ( 3 4 ) ( 3 6 ) ( 3 5 )$[/tex].
Fin qui mi sembra tutto corretto. Sbaglio?
A questo punto mi chiedono le orbite di [tex]$\tau , \tau^2 , \tau^3$[/tex] , ma non avendo mai fatto esercizi del genere mi trovo spiazzato. Come le determino (e le scrivo) ? Grazie.
La sua scomposizione in cicli disgiunti è [tex]$\tau = (1 2 ) ( 3 4 6 5 )$[/tex] e [tex]$sgn (\tau ) = 1$[/tex]. Si chiede di calcolare [tex]$\tau^2 , \tau^3$[/tex]. Io trovo:
[tex]$\tau^2 = ( 3 6 ) ( 4 5 )$[/tex] e [tex]$\tau^3 = ( 1 2 ) ( 3 5 6 4 )$[/tex].
Devo scrivere queste tre permutazioni come prodotto di trasposizioni. [tex]$\tau$[/tex] è data in questa forma e la scomposizione in cicli disgiunti di [tex]$\tau^2$[/tex] è un prodotto di trasposizioni. Rimane [tex]$\tau^3$[/tex]; trovo: [tex]$\tau^3 = (1 2 ) ( 3 4 ) ( 3 6 ) ( 3 5 )$[/tex].
Fin qui mi sembra tutto corretto. Sbaglio?
A questo punto mi chiedono le orbite di [tex]$\tau , \tau^2 , \tau^3$[/tex] , ma non avendo mai fatto esercizi del genere mi trovo spiazzato. Come le determino (e le scrivo) ? Grazie.
Risposte
La prima parte è tutta giusta.
Per la seconda, immagino che l'azione sia quella di coniugio. Come quello che ti ho scritto qualche giorno fa
la classe di coniugio di una permutazione è molto semplice da calcolare. Ora classe di coniugio e orbita sono parole diverse per uno stesso concetto, quindi...
Ad esempio, la struttura ciclica di [tex]\tau[/tex] è [tex](2,4)[/tex]. Quindi nella sua orbita ci saranno tutte le permutazioni prodotto di una trasposizione per un 4-ciclo in modo che siano disgiunte. In particolare [tex]\tau^3[/tex] e [tex]\tau[/tex] individuano la stessa orbita. Sapresti trovare [tex]\mu[/tex] tale che [tex]\tau^3 = \mu \tau \mu^{-1}[/tex]?
Per la seconda, immagino che l'azione sia quella di coniugio. Come quello che ti ho scritto qualche giorno fa
"maurer":
Uhm... comunque saperlo non fa mai male.
Il procedimento descritto da Martino può essere svolto in tutta generalità. Ottieni che se [tex](a_1, \ldots, a_k)[/tex] è un k-ciclo allora [tex]\mu (a_1, \ldots, a_k) \mu^{-1} = (\mu(a_1), \ldots, \mu(a_k))[/tex] e quindi i cicli vengono mandati in cicli (ed hai un modo molto semplice di calcolare l'immagine).
D'altra parte il coniugio è un automorfismo e quindi se [tex]\sigma[/tex] e [tex]\tau[/tex] sono due cicli [tex]\mu \sigma \tau \mu^{-1} = \mu \sigma \mu^{-1} \mu \tau \mu^{-1}[/tex].
Quindi data una permutazione qualsiasi, è molto facile calcolare l'immagine tramite l'operazione di coniugio.
la classe di coniugio di una permutazione è molto semplice da calcolare. Ora classe di coniugio e orbita sono parole diverse per uno stesso concetto, quindi...
Ad esempio, la struttura ciclica di [tex]\tau[/tex] è [tex](2,4)[/tex]. Quindi nella sua orbita ci saranno tutte le permutazioni prodotto di una trasposizione per un 4-ciclo in modo che siano disgiunte. In particolare [tex]\tau^3[/tex] e [tex]\tau[/tex] individuano la stessa orbita. Sapresti trovare [tex]\mu[/tex] tale che [tex]\tau^3 = \mu \tau \mu^{-1}[/tex]?
Cos'è "la struttura ciclica di [tex]$\tau$[/tex]"?
Comunque sia ho trovato che [tex]$\mu = ( 4 5 )$[/tex], usando però il procedimento che mi ha descritto Martino, cioè:
[tex]$\mu ( 1 2 ) \mu^{-1} \mu ( 3 4 6 5 ) \mu^{-1} = \tau^3$[/tex]
Continua a rimanere oscuro questo coniugio. Mi sa che lo andrò a cercare su qualche libro.
Grazie maurer.
Comunque sia ho trovato che [tex]$\mu = ( 4 5 )$[/tex], usando però il procedimento che mi ha descritto Martino, cioè:
[tex]$\mu ( 1 2 ) \mu^{-1} \mu ( 3 4 6 5 ) \mu^{-1} = \tau^3$[/tex]
"maurer":
la classe di coniugio di una permutazione è molto semplice da calcolare. Ora classe di coniugio e orbita sono parole diverse per uno stesso concetto, quindi...
Continua a rimanere oscuro questo coniugio. Mi sa che lo andrò a cercare su qualche libro.
Grazie maurer.
Una permutazione la puoi sempre scrivere come prodotto di cicli disgiunti, fin qui ci sei?
Dici struttura ciclica della permutazione la successione delle lunghezze dei cicli, ordinate in modo crescente!
Non è niente di trascendente. Tra me e Martino abbiamo già praticamente tutto quello che ti occorre sapere! Comunque, probabilmente un qualsiasi testo saprà essere più chiaro ed esaustivo di me!
Dici struttura ciclica della permutazione la successione delle lunghezze dei cicli, ordinate in modo crescente!
Non è niente di trascendente. Tra me e Martino abbiamo già praticamente tutto quello che ti occorre sapere! Comunque, probabilmente un qualsiasi testo saprà essere più chiaro ed esaustivo di me!
"maurer":
Una permutazione la puoi sempre scrivere come prodotto di cicli disgiunti, fin qui ci sei?
Dici struttura ciclica della permutazione la successione delle lunghezze dei cicli, ordinate in modo crescente!
D'accordo, questo è perfettamente chiaro (non avevo mai sentito questa terminologia, perdonami).
Grazie ancora.
No, scusami tu, non volevo affatto essere brusco, ero solo di fretta.
Comunque, quella è la terminologia che utilizzavamo noi, potrebbe tranquillamente non avere validità universale. Mi sembra che sul Piacentini - Cattaneo venga utilizzata proprio questa notazione, se può servirti come riferimento bibliografico.
In ogni caso, un teorema dice che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. E questo teorema, come converrai, tanto più che è dimostrato costruttivamente, banalizza tanti degli esercizi standard sul coniugio (in [tex]\mathcal S_n[/tex], perché in [tex]A_n[/tex] la storia è diversa
).
Comunque, quella è la terminologia che utilizzavamo noi, potrebbe tranquillamente non avere validità universale. Mi sembra che sul Piacentini - Cattaneo venga utilizzata proprio questa notazione, se può servirti come riferimento bibliografico.
In ogni caso, un teorema dice che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. E questo teorema, come converrai, tanto più che è dimostrato costruttivamente, banalizza tanti degli esercizi standard sul coniugio (in [tex]\mathcal S_n[/tex], perché in [tex]A_n[/tex] la storia è diversa
).
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