Esercizio permutazione e sottogruppo
Salve a tutti. Dovrei risolvere questo esercizio. Ho provato a farlo ma non sono molto sicuro che sia corretto. Ho cercato anche sul forum argomenti simili ma non ho trovato un granchè simile al caso mio.
Nel gruppo S4 determinare, se esiste, una permutazione t tale che (t)*(123)*(t^-1)=(124)
Provare che il sottogruppo H=<(124)> non è normale in S4.
Voi come lo risolvereste?
Nel gruppo S4 determinare, se esiste, una permutazione t tale che (t)*(123)*(t^-1)=(124)
Provare che il sottogruppo H=<(124)> non è normale in S4.
Voi come lo risolvereste?
Risposte
Hai provato a ragionare sull'ordine che dovrebbe avere una tale $t$?
Paola
Paola
Sinceramente no. Avevo provato a ragionare così: l'1 va in 1, il 2 in 2 il 3 in 4 e dunque il ciclo che si ottiene è (34) ma non sono sicuro che sia giusto. Per il secondo punto ho preso il ciclo (124) di S4, ho calcolato il suo inverso cioè (142) e poi ho fatto il prodotto (142)(123)(124), dove (123) ovviamente è un elemento di H. Da questo prodotto ho ottenuto il ciclo (134) il quale come si vede non appartiene ad H e di conseguenza H non è normale in S4.
Questo è il procedimento che ho utilizzato, ma ripeto, non sono convinto che sia giusto.
Questo è il procedimento che ho utilizzato, ma ripeto, non sono convinto che sia giusto.
Per il primo va bene. Anche se in realtà non è l'unica soluzione. Infatti puoi anche avere che \(\displaystyle 1\mapsto 2,\ 2\mapsto 4,\ 3\mapsto 1 \) oppure \(\displaystyle 1\mapsto 4,\ 2\mapsto 1,\ 3\mapsto 2 \). In questi casi si ha \(\displaystyle t = (1243) \) e \(\displaystyle t = (1432) \).
Riguardo al secondo penso che tu abbia sbagliato o sopra o sotto a definire \(\displaystyle H \) e non capisco se \(\displaystyle H \) è generato da \(\displaystyle (123) \) o da \(\displaystyle (124) \). Il metodo comunque a meno di qualche correzione dovuta a questa incongruenza direi che va bene. Usando qualche nozione base sui coniugi comunque si poteva dimostrare senza esplicitare il calcolo ([...]).
X prime_number: che intendi dire riferendoti all'ordine?
[edit] Eliminata commento scritto male e con errori
Riguardo al secondo penso che tu abbia sbagliato o sopra o sotto a definire \(\displaystyle H \) e non capisco se \(\displaystyle H \) è generato da \(\displaystyle (123) \) o da \(\displaystyle (124) \). Il metodo comunque a meno di qualche correzione dovuta a questa incongruenza direi che va bene. Usando qualche nozione base sui coniugi comunque si poteva dimostrare senza esplicitare il calcolo ([...]).
X prime_number: che intendi dire riferendoti all'ordine?
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Sorry! H = <(123)> Che occhio! 
Per elemento simmetrico intendi elemento inverso? L'elemento inverso di (123) dovrà essere necessariamente (123)^2 poichè 3 è l'ordine di (123) e il loro prodotto da id. Ma come facevo a dimostrarlo sapendo questo? Ti ringrazio per la risposta che mi hai dato!
Per elemento simmetrico intendi elemento inverso? L'elemento inverso di (123) dovrà essere necessariamente (123)^2 poichè 3 è l'ordine di (123) e il loro prodotto da id. Ma come facevo a dimostrarlo sapendo questo? Ti ringrazio per la risposta che mi hai dato!
"Alfonso89":
Sorry! H = <(123)> Che occhio!
Scusa. Come vedi facciamo tutti errori
. Il secondo simmetrico era un errore di disattenzione.Intendevo dire che c'é un teorema che afferma che due elementi di \(\displaystyle S_n \) sono coniugati quando hanno la stessa struttura ciclica. Pertanto sai che esiste \(\displaystyle \sigma \) tale che \(\displaystyle \sigma(abc)\sigma^{-1} = (def) \). Di conseguenza ti basta far notare che esiste un \(\displaystyle 3 \)-ciclo che non appartiene ad \(\displaystyle H \) senza fare espressamente i calcoli con un \(\displaystyle \sigma \) particolare.
È evidente inoltre che un sottogruppo normale è unione disgiunta di classi di coniugio.
Grazie mille!! Ho capito tutto!
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