Esercizio permutazione.
Salve a tutti .
Quest'oggi ho risolto questo esercizio riguardo le permutazioni.
Si consideri la seguente permutazione : $\sigma = $$(1,11,6,3)(2,4)(5,8,7)(9,10)$
a) Determinare il periodo di $\sigma$
b) Determinare $<\sigma> nn A_11$ , indicando esplicitamente i suoi elementi.
Ho svolto cosi,
a) Poiché la scrittura ciclica di $\sigma$ è data da { 4,2,3,2} $o(\sigma)$$=m.c.m(4,2,3,2)=12$
b) Dunque $<\sigma> = { \sigma^i | i = 1 ,2 , 3 ...... 11}$
Allora voglio trovare $<\sigma> nn A_11$ , ove $A_11$ è l'insieme delle permutazioni pari di $S_11$
Ovviamente , poichè $id$ è pari, $id in <\sigma> nn A_11$. Ci chiediamo se esistono altre $\sigma^i in <\sigma> nn A_11$.
Poiché $\sigma = (1 , 11) (11,6) (6,3)(2,4)(5,8)(8,7)(9,10)$ si scrive come prodotto dispari di trasposizioni, allora $sigma$ è dispari.
Ne segue che $\sigma ^ 2$ è pari, $\sigma ^ 3$ è dispari... cioè in definitiva ogni $\sigma^i$ con i pari è pari, e dunque
$<\sigma> nn A_11 = { id , \sigma^2 , ........, \sigma^10}$.
Ora volendo calcolare tali permutazioni abbiamo che
$\sigma^2 = (1,6)(11,3)(5,7,8)$ , $\sigma^4= (5,8,7)$ , $\sigma^6 = (1,6)(11,3)$ $\sigma^8= (5,7,8)$ , $\sigma^10=(1,6)(11,3)(5,8,7)$. E dunque
$id in <\sigma> nn A_11 = { id , (1,6)(11,3)(5,7,8) , (5,8,7) , (1,6)(11,3) , (5,7,8) , (1,6)(11,3)(5,8,7) } $. End.
Va bene come ragionamento,e se si , esiste una strada più breve di quella adottata da me?
Grazie per una vostra eventuale risposta.
Quest'oggi ho risolto questo esercizio riguardo le permutazioni.
Si consideri la seguente permutazione : $\sigma = $$(1,11,6,3)(2,4)(5,8,7)(9,10)$
a) Determinare il periodo di $\sigma$
b) Determinare $<\sigma> nn A_11$ , indicando esplicitamente i suoi elementi.
Ho svolto cosi,
a) Poiché la scrittura ciclica di $\sigma$ è data da { 4,2,3,2} $o(\sigma)$$=m.c.m(4,2,3,2)=12$
b) Dunque $<\sigma> = { \sigma^i | i = 1 ,2 , 3 ...... 11}$
Allora voglio trovare $<\sigma> nn A_11$ , ove $A_11$ è l'insieme delle permutazioni pari di $S_11$
Ovviamente , poichè $id$ è pari, $id in <\sigma> nn A_11$. Ci chiediamo se esistono altre $\sigma^i in <\sigma> nn A_11$.
Poiché $\sigma = (1 , 11) (11,6) (6,3)(2,4)(5,8)(8,7)(9,10)$ si scrive come prodotto dispari di trasposizioni, allora $sigma$ è dispari.
Ne segue che $\sigma ^ 2$ è pari, $\sigma ^ 3$ è dispari... cioè in definitiva ogni $\sigma^i$ con i pari è pari, e dunque
$<\sigma> nn A_11 = { id , \sigma^2 , ........, \sigma^10}$.
Ora volendo calcolare tali permutazioni abbiamo che
$\sigma^2 = (1,6)(11,3)(5,7,8)$ , $\sigma^4= (5,8,7)$ , $\sigma^6 = (1,6)(11,3)$ $\sigma^8= (5,7,8)$ , $\sigma^10=(1,6)(11,3)(5,8,7)$. E dunque
$id in <\sigma> nn A_11 = { id , (1,6)(11,3)(5,7,8) , (5,8,7) , (1,6)(11,3) , (5,7,8) , (1,6)(11,3)(5,8,7) } $. End.
Va bene come ragionamento,e se si , esiste una strada più breve di quella adottata da me?
Grazie per una vostra eventuale risposta.
Risposte
Solo un'osservazione $(1,11,6,3) \ne (1,11)(11,6)(6,3)$, si potrebbe invece decomporre così $(1,11,6,3) = (1,11)(1,6)(1,3)$ Stessa cosa per $(5,8,7) = (5,8)(5,7)$. Il resto non ho controllato...
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