Esercizio permutazione
ciao a tutti sono entrato in crisi con questo esercizio!! l'esercizio dice:
calcolare $ a\in S6$ tale che $a^2 = (123)(456)$
il mio ragionamento e' stato questo.......esaminando come "si muove" il 3-(ciclo) (123) :
$1 2 3$
$1 2 3$ ---->identita'
$1 2 3$
$2 3 1$ --->$(123)$
$1 2 3$
$3 1 2$ ---->$(132)$
siccome ottengo gli stessi "spostamenti" rinominando $1 2 3$ con $4 5 6$ io mi sono ricavato i due 3 cicli
$(132) (465)$ tali che:
$[(132) (465)]^2 = (123)(456) $
quindi la soluzione dovrebbe essere equivalente al prodotto di questi 3-cicli.
adesso.....il testo mi permette di avere la soluzione, e questa non solo non saprei come arrivarci, ma facendo la scomposizione in trasposizioni SIA del risultato del libro SIA di $(132)(465)$ mi vengono risultati diversi! cosa che dovrebbe essere la controprova del mio fallimento di ragionamento!
dunque....come si fa questo esercizio? e perche'? e dove sbaglio io col ragionamento?
calcolare $ a\in S6$ tale che $a^2 = (123)(456)$
il mio ragionamento e' stato questo.......esaminando come "si muove" il 3-(ciclo) (123) :
$1 2 3$
$1 2 3$ ---->identita'
$1 2 3$
$2 3 1$ --->$(123)$
$1 2 3$
$3 1 2$ ---->$(132)$
siccome ottengo gli stessi "spostamenti" rinominando $1 2 3$ con $4 5 6$ io mi sono ricavato i due 3 cicli
$(132) (465)$ tali che:
$[(132) (465)]^2 = (123)(456) $
quindi la soluzione dovrebbe essere equivalente al prodotto di questi 3-cicli.
adesso.....il testo mi permette di avere la soluzione, e questa non solo non saprei come arrivarci, ma facendo la scomposizione in trasposizioni SIA del risultato del libro SIA di $(132)(465)$ mi vengono risultati diversi! cosa che dovrebbe essere la controprova del mio fallimento di ragionamento!
dunque....come si fa questo esercizio? e perche'? e dove sbaglio io col ragionamento?
Risposte
Il tuo ragionamento funziona. Se $\sigma$ e' un $3$-ciclo $(i,j,k)$, allora $\sigma^2$ e' il $3$-ciclo $(i,k,j)$ e cicli con supporti disgiunti commutano.
La decomposizione in trasposizioni non e' unica, quindi magari stai calcolando due decomposizioni diverse che pero' danno la stessa permutazione. La decomposizioni in cicli disgiunti invece e' unica (a meno di rotazioni sui cicli o dell'ordine degli stessi). Prova a vedere cosa succede se decomponi in cicli disgiunti la permutazione data dal testo.
La decomposizione in trasposizioni non e' unica, quindi magari stai calcolando due decomposizioni diverse che pero' danno la stessa permutazione. La decomposizioni in cicli disgiunti invece e' unica (a meno di rotazioni sui cicli o dell'ordine degli stessi). Prova a vedere cosa succede se decomponi in cicli disgiunti la permutazione data dal testo.
ma $(123)(456)$ non sono gia cicli disgiunti?
Infatti il tuo ragionamento è sbagliato, come anche il risultato del libro! Ma quello del libro è un errore di disattenzione comprensibile.
La permutazione \(\alpha\), se esiste, possiede una scomposizione in cicli disgiunti, sia quindi \(\displaystyle \alpha = \alpha_1\dotsm \alpha_s \) una sua scomposizione in cicli disgiunti. Siccome la scomposizione è in cicli disgiunti si ha che \(\alpha^2 = \alpha^2_1\dotsm \alpha^2_s \). Dato che \(\displaystyle \alpha^2 = (123)(456) \) non fissa alcun elemento, i vari \(\displaystyle \alpha_i \) hanno lunghezza almeno \(\displaystyle 3 \). Perciò \(\displaystyle 0< s\le 2 \).
Dato che entrambi i cicli hanno lunghezza \(\displaystyle 3 \), la lunghezza dei vari \(\displaystyle \alpha_i \) deve essere multiplo di \(\displaystyle 3 \). Siccome \(\displaystyle n=6 \) si hanno solo \(\displaystyle 2 \) possibilità: \(\displaystyle \alpha \) è un ciclo di lunghezza \(\displaystyle 6 \) e \(\displaystyle \alpha \) è il prodotto di due cicli di lunghezza \(\displaystyle 3 \).
Nel primo caso si ha che \(\displaystyle \alpha = (142536) \) per il modo in cui si calcola la potenza di un ciclo. Questa soluzione non so perché è stata dimenticata in giro da tutti.
Nel secondo caso di ha che \(\displaystyle \alpha_1^2 = (123) \) oppure \(\displaystyle \alpha_1^2 = (456) \) (quale si scelga è ininfluente). La soluzione in \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \) dell'equazione congruenziale \(\displaystyle x^2\equiv 1\pmod{3} \) è \(\displaystyle 2 \) perciò \(\displaystyle \alpha_1 = (123)^2 = (132) \). Similmente si prova che \(\displaystyle \alpha_2 = (465) \).
La permutazione \(\alpha\), se esiste, possiede una scomposizione in cicli disgiunti, sia quindi \(\displaystyle \alpha = \alpha_1\dotsm \alpha_s \) una sua scomposizione in cicli disgiunti. Siccome la scomposizione è in cicli disgiunti si ha che \(\alpha^2 = \alpha^2_1\dotsm \alpha^2_s \). Dato che \(\displaystyle \alpha^2 = (123)(456) \) non fissa alcun elemento, i vari \(\displaystyle \alpha_i \) hanno lunghezza almeno \(\displaystyle 3 \). Perciò \(\displaystyle 0< s\le 2 \).
Dato che entrambi i cicli hanno lunghezza \(\displaystyle 3 \), la lunghezza dei vari \(\displaystyle \alpha_i \) deve essere multiplo di \(\displaystyle 3 \). Siccome \(\displaystyle n=6 \) si hanno solo \(\displaystyle 2 \) possibilità: \(\displaystyle \alpha \) è un ciclo di lunghezza \(\displaystyle 6 \) e \(\displaystyle \alpha \) è il prodotto di due cicli di lunghezza \(\displaystyle 3 \).
Nel primo caso si ha che \(\displaystyle \alpha = (142536) \) per il modo in cui si calcola la potenza di un ciclo. Questa soluzione non so perché è stata dimenticata in giro da tutti.
Nel secondo caso di ha che \(\displaystyle \alpha_1^2 = (123) \) oppure \(\displaystyle \alpha_1^2 = (456) \) (quale si scelga è ininfluente). La soluzione in \(\displaystyle \mathbb{Z}_3 \) dell'equazione congruenziale \(\displaystyle x^2\equiv 1\pmod{3} \) è \(\displaystyle 2 \) perciò \(\displaystyle \alpha_1 = (123)^2 = (132) \). Similmente si prova che \(\displaystyle \alpha_2 = (465) \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo