Esercizio per Induzione

[NotteOscura]

Ciao a tutti, ho riscontrato difficoltà su questo esercizio:

Dimostrare, utilizzando il principio di induzione che:

\(\displaystyle 3^{2n} -2 \cdot 3^n \equiv 3 (mod 4) \)

Io ho provato a risolvere così:

PASSO BASE

\(\displaystyle P(0) vera \Rightarrow 1-2\cdot 1 \equiv 3 (mod4) \Rightarrow -1 - 3 = -4 (mod 4) \)

PASSO INDUTTIVO

\(\displaystyle P(n) \Rightarrow 3^{2n} -2\cdot 3^n \equiv 3 (mod4) \Rightarrow [Ipotesi] \)
\(\displaystyle P(n+1) \Rightarrow 3^{2(n+1)} -2\cdot3^{n+1} \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow [Tesi] \)

DIM

\(\displaystyle 3^{2n+2} -2\cdot3^{n+1} \equiv 3 (mod4) \)
\(\displaystyle 3^2\cdot3^{2n}-2\cdot3^n\cdot3\equiv3(mod4) \)


A questo punto non saprei come continuare, qualcuno mi darebbe una mano? Grazie

[Trilogy]

Puoi scrivere così:
$$9\cdot 3^{2n}-3\cdot2\cdot3^n=(3^{2n}-2\cdot3^n)+(8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n).$$
A questo punto cosa osservi?

[NotteOscura]

"Trilogy":Puoi scrivere così:
$$9\cdot 3^{2n}-3\cdot2\cdot3^n=(3^{2n}-2\cdot3^n)+(8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n).$$
A questo punto cosa osservi?

Ciao, grazie per la risposta:
Non ho capito come hai fatto a raccogliere in questo passaggio: \(\displaystyle (8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n) \)

In questa espressione \(\displaystyle 9\cdot 3^{2n}-3\cdot2\cdot3^n \) se togliamo la parte \(\displaystyle 3^{2n}-2\cdot3 \)
che è quella che noi definiamo nell'ipotesi induttiva, non rimane \(\displaystyle 9 \) e poi \(\displaystyle 3^n \) ? Come hai ottenuto quel passaggio?


Comunque deduco da: \(\displaystyle (3^{2n}-2\cdot3^n)+(8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n) \)
La prima è una quantità che per ipotesi induttiva ci va bene
Nella seconda abbiamo,nella prima moltiplicazione, necessariamente un multiplo di 8 che poi sottraiamo necessariamente ad un multiplo di 4. Da qui ne convengo che se ad un multiplo di 8 viene sottratto un multiplo di 4, il risultato sarà ancora un numero divisibile per 4. In questo modo abbiamo che le due quantità rispecchiano il passo induttivo.
Giusto?
Grazie ancora

[@melia]

Ho inserito in passaggio che manca per farti capire come è stato scomposto:
\[ 9\cdot 3^{2n}-3\cdot2\cdot3^n= (8+1)\cdot 3^{2n}-(4+2)\cdot3^n=(3^{2n}-2\cdot3^n)+(8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n). \]

[NotteOscura]

"@melia":Ho inserito in passaggio che manca per farti capire come è stato scomposto:
\[ 9\cdot 3^{2n}-3\cdot2\cdot3^n= (8+1)\cdot 3^{2n}-(4+2)\cdot3^n=(3^{2n}-2\cdot3^n)+(8\cdot 3^{2n}-4\cdot 3^n). \]

Grazie mille, chiarissima

Grazie ad entrambi! ^^
Comunque c'è una sorta di "metodo" per capire come scomporre i numeri? O devo fare a prove finchè non mi risulta qualcosa di divisibile?