Esercizio ordine in un gruppo
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Qual è l’ordine di $5$ in $ZZ^(x)1001$?
Potreste aiutarmi a risolverlo?
Vi ringrazio.
Qual è l’ordine di $5$ in $ZZ^(x)1001$?
Potreste aiutarmi a risolverlo?
Vi ringrazio.
Risposte
Considera che l'ordine di un elemento $x$ di $(ZZ_{n})^×$ deve dividere $\phi(n)$. In questo caso $\phi(1001)=720=2^3\cdot 3^2 \cdot 5$, già da subito puoi escludere 2 e 3 dall'elenco.
quello l'avevo fatto anche io solo che mi sembrava sbagliato e quindi stavo prendendo un'altra strada.
Quindi suggerirei 5?
però se faccio $5^5 mod 1001 $ non viene l'identità cioè 1
Cosa sbaglio?
Quindi suggerirei 5?
però se faccio $5^5 mod 1001 $ non viene l'identità cioè 1
Cosa sbaglio?
Quali sono i divisori di $720$?(escludendo 1,2,3,5)
$3\cdot 5$, $3^2\cdot 5$, $2\cdot3$, ecc...
Provali tutti, non escludo ci sia una scorciatoia.
$3\cdot 5$, $3^2\cdot 5$, $2\cdot3$, ecc...
Provali tutti, non escludo ci sia una scorciatoia.
scusami ma non ci riesco, ho provato un po' di divisori ma non ottengo 1.
sono arrivato fino e $60$ ma $5^60 mod 1001 $ non fa $1$
Non so cosa sbaglio
sono arrivato fino e $60$ ma $5^60 mod 1001 $ non fa $1$
Non so cosa sbaglio
a no scusami ho sbagliato io a fare il conto
$5^60 mod 1001$ fa $1$, quindi dovrebbe essere, se non ho sbagliato,$60$ l'ordine di 5.
è giusta la risposta?
se fosse giusta , c'è un modo alternativo magari più breve , perché mi sono aiutato un po' con la calcolatrice visto i numeri grandi, però all'esame non ho calcolatrici.
è solo questo l'unico modo di svolgerlo l'esercizio?
Intanto di ringrazio per l'aiuto datomi finora
$5^60 mod 1001$ fa $1$, quindi dovrebbe essere, se non ho sbagliato,$60$ l'ordine di 5.
è giusta la risposta?
se fosse giusta , c'è un modo alternativo magari più breve , perché mi sono aiutato un po' con la calcolatrice visto i numeri grandi, però all'esame non ho calcolatrici.
è solo questo l'unico modo di svolgerlo l'esercizio?
Intanto di ringrazio per l'aiuto datomi finora
Ciao,
Fai così. Prima di tutto scomponi $1001$ in fattori primi. $1001=7*11*13$.
$7, 11, 13$ sono ovviamente coprimi, quindi puoi affermare che $ZZ_1001$ è isomorfo al prodotto $ZZ_7\times ZZ_11\times ZZ_13$.
Ciò vale anche per i rispettivi gruppi delle unità, quindi hai $U(ZZ_1001)$ isomorfo a $U(ZZ_7)\times U(ZZ_11)\times U(ZZ_13)$.
Ora, il periodo dell'elemento $5$ in $U(ZZ_1001)$ è il $mcm$ dei periodi del $5$ visto come elemento dei gruppi $U(ZZ_7)$, $U(ZZ_11)$, $U(ZZ_13)$ rispettivamente.
Calcola quindi la funzione di Eulero in $7$, $11$, $13$ per sapere che possibili periodi possono avere gli elementi di questi gruppi, rispettivamente, e calcola, di conseguenza, il periodo di $5$ in questi tre gruppi.
Alla fine otterrai sempre che il $mcm=60$, però in questo caso la ricerca dei periodi "intermedi" è più semplificata.
Fai così. Prima di tutto scomponi $1001$ in fattori primi. $1001=7*11*13$.
$7, 11, 13$ sono ovviamente coprimi, quindi puoi affermare che $ZZ_1001$ è isomorfo al prodotto $ZZ_7\times ZZ_11\times ZZ_13$.
Ciò vale anche per i rispettivi gruppi delle unità, quindi hai $U(ZZ_1001)$ isomorfo a $U(ZZ_7)\times U(ZZ_11)\times U(ZZ_13)$.
Ora, il periodo dell'elemento $5$ in $U(ZZ_1001)$ è il $mcm$ dei periodi del $5$ visto come elemento dei gruppi $U(ZZ_7)$, $U(ZZ_11)$, $U(ZZ_13)$ rispettivamente.
Calcola quindi la funzione di Eulero in $7$, $11$, $13$ per sapere che possibili periodi possono avere gli elementi di questi gruppi, rispettivamente, e calcola, di conseguenza, il periodo di $5$ in questi tre gruppi.
Alla fine otterrai sempre che il $mcm=60$, però in questo caso la ricerca dei periodi "intermedi" è più semplificata.
Ciao, guarda è l'inizio che studio i gruppi ed ho capito solo in parte la tua risposta, in sostanza non mi è chiara la seguente cosa:
perché se $7,11,13$ sono comprimi posso affermare che $ZZ_1001$ è isomorfo al prodotto? e se non fossero stati comprimi cosa sarebbe cambiato?
Ti ringrazio
perché se $7,11,13$ sono comprimi posso affermare che $ZZ_1001$ è isomorfo al prodotto? e se non fossero stati comprimi cosa sarebbe cambiato?
Ti ringrazio
Dovrebbe essere una versione del Teorema cinese del resto, te la scrivo, in sintesi:
$\ZZ_{n_1n_2\cdots n_k} ~=\ZZ_{n_1}×\ZZ_{n_2}×\cdots ×\ZZ_{n_k} \Leftrightarrow MCD(n_i,n_j)=1$
Cioè coprimi due a due. Se non lo fossero allora non sarebbe isomorfo.[nota]È un se e solo se[/nota]
$\ZZ_{n_1n_2\cdots n_k} ~=\ZZ_{n_1}×\ZZ_{n_2}×\cdots ×\ZZ_{n_k} \Leftrightarrow MCD(n_i,n_j)=1$
Cioè coprimi due a due. Se non lo fossero allora non sarebbe isomorfo.[nota]È un se e solo se[/nota]
ok ho più o meno capito
Grazie a tutti
Grazie a tutti
Sì, l'isomorfismo sussiste per il Teorema cinese del resto. Se non fossero stati a due a due coprimi quell'isomorfismo si riduce a un omomorfismo.
Comunque, questo è il metodo che, almeno da me, si seguiva spesso. Non penso ci siano altri metodi, più semplici di questo, che non si basino sul teorema cinese, per affrontare il tuo esercizio. Se sei alle prime armi, meglio chiedere al tuo professore per sicurezza, in modo da mostrarti la strategia da seguire agli inizi.
Comunque, questo è il metodo che, almeno da me, si seguiva spesso. Non penso ci siano altri metodi, più semplici di questo, che non si basino sul teorema cinese, per affrontare il tuo esercizio. Se sei alle prime armi, meglio chiedere al tuo professore per sicurezza, in modo da mostrarti la strategia da seguire agli inizi.
ok perfetto grazie.
Ho un'altra domanda da farvi riguardo quest'argomento:
ho un esercizio che mi chiede di calcolare l'ordine di tutti gli elementi di $ZZ_15$, ora ho notato che in $ZZ$ un elemento $n$ ha ordine 1 se $n=0$ altrimenti il suo ordine è $\infty$.
Vale la stessa cosa in $ZZ_15$?
Se non vale la stessa cosa l'esercizio si risolve in maniera analoga a quello posto precedentemente e cioè il numero di elementi in $ZZ_15$ è appunto $15$ e per il teorema di Lagrange so che l'ordine di ogni elemento deve dividere $15$ e quindi si tratta di provare fra $1,15,3,5$?
Vi ringrazio ancora
Ho un'altra domanda da farvi riguardo quest'argomento:
ho un esercizio che mi chiede di calcolare l'ordine di tutti gli elementi di $ZZ_15$, ora ho notato che in $ZZ$ un elemento $n$ ha ordine 1 se $n=0$ altrimenti il suo ordine è $\infty$.
Vale la stessa cosa in $ZZ_15$?
Se non vale la stessa cosa l'esercizio si risolve in maniera analoga a quello posto precedentemente e cioè il numero di elementi in $ZZ_15$ è appunto $15$ e per il teorema di Lagrange so che l'ordine di ogni elemento deve dividere $15$ e quindi si tratta di provare fra $1,15,3,5$?
Vi ringrazio ancora
No.
Quali sono gli elementi di $\ZZ_{15}$?
Sono ${0,1,2,...14}$, 0 ha ordine 1 mentre
1. se $M.C.D(15,n)=1$, n ha ordine 15
2. se $M.C.D(15,n)>1$ allora $o(n)=\frac{15}{M.C.D(15,n)}$
Osservazione: se $M.C.D(15,n)=1$ allora usando la formula del punto 2 ti ricavi il punto 1
Quali sono gli elementi di $\ZZ_{15}$?
Sono ${0,1,2,...14}$, 0 ha ordine 1 mentre
1. se $M.C.D(15,n)=1$, n ha ordine 15
2. se $M.C.D(15,n)>1$ allora $o(n)=\frac{15}{M.C.D(15,n)}$
Osservazione: se $M.C.D(15,n)=1$ allora usando la formula del punto 2 ti ricavi il punto 1
P.s. Quello di prima era un gruppo moltiplicativo, questo è additivo le cose sono un pò diverse.
il mio professore non ha mai introdotto quella formula e lui non vuole che all'esame si usino cose non spiegate da lui, quindi stavo provando a cercare di risolverlo senza quella formula ed ho proceduto nel seguente modo, vorrei sapere se è corretto ugualmente:
siccome è un gruppo additivo l'elemento neutro è lo $0$ e so che l'ordine di un elemento può essere $1,15,3,5$ quindi per calcolare l'ordine di $4$ ad esempio faccio:
Provo con $1$:
$(4) mod 15=4$ , non va bene
Provo con $3$:
$(4+4+4) mod 15=12$ , non va bene
Provo con $5$:
$(4+4+4+4+4) mod 15=5$ , non va bene
Provo con $15$:
$(4*15) mod 15=0$ , va bene
può andar bene questo modo?
siccome è un gruppo additivo l'elemento neutro è lo $0$ e so che l'ordine di un elemento può essere $1,15,3,5$ quindi per calcolare l'ordine di $4$ ad esempio faccio:
Provo con $1$:
$(4) mod 15=4$ , non va bene
Provo con $3$:
$(4+4+4) mod 15=12$ , non va bene
Provo con $5$:
$(4+4+4+4+4) mod 15=5$ , non va bene
Provo con $15$:
$(4*15) mod 15=0$ , va bene
può andar bene questo modo?
Certamente, se il tuo professore ha il bisogno incondizionato di complicare le cose ai suoi studenti.
Un consiglio:
Prima di cominciare l'esame chiedi conferma se puoi o no usare i due metodi che ti abbiamo proposto assai meno calcolosi.
I prof all'uni non dicono proprio tutto su come svolgere un esercizio, danno per scontato o sperano che gli studenti ci arrivino da soli a certi trucchetti. Usare queste scorciatoie può essere a tuo favore o sfavore dipende dal prof se è ottuso o meno.
Un consiglio:
Prima di cominciare l'esame chiedi conferma se puoi o no usare i due metodi che ti abbiamo proposto assai meno calcolosi.
I prof all'uni non dicono proprio tutto su come svolgere un esercizio, danno per scontato o sperano che gli studenti ci arrivino da soli a certi trucchetti. Usare queste scorciatoie può essere a tuo favore o sfavore dipende dal prof se è ottuso o meno.
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