Esercizio ordine elementi di un gruppo
Salve a tutti ho questo esercizio che mi chiede di calcolare l'ordine dell elemento $(1, 0, 2)$ del gruppo moltiplicativo $(GF(3^3), *)$.
Ho risolto che, siccome l'ordine di $(GF(3^3), *)$ è $26$, allora, per il corollario del teorema di Lagrange so che ogni elemento di un gruppo finito $G$ ha ordine uguale ai divisori dell'ordine di $G$, l'ordine di $(1, 0, 2)$ è $2$ e $13$.
Ho calcolato $(1, 0, 2)^2$
Ora per calcolare $(1, 0, 2)^13$ devo per forza fare $(1, 0, 2)*(1, 0, 2).....*(1, 0, 2)$ fino alla tredicesima volta oppure posso raccogliere a due a due $(1, 0, 2)*(1, 0,2) = (1, 0, 2)$ e semplificarmi i calcoli tanto da non dover calcolare praticamente niente in quanto alla fine viene un solo $(1, 0, 2)*(1, 0, 2) = (1, 0, 2)$?
Spero che il mio procedimento si sia capito.
Ho risolto che, siccome l'ordine di $(GF(3^3), *)$ è $26$, allora, per il corollario del teorema di Lagrange so che ogni elemento di un gruppo finito $G$ ha ordine uguale ai divisori dell'ordine di $G$, l'ordine di $(1, 0, 2)$ è $2$ e $13$.
Ho calcolato $(1, 0, 2)^2$
Ora per calcolare $(1, 0, 2)^13$ devo per forza fare $(1, 0, 2)*(1, 0, 2).....*(1, 0, 2)$ fino alla tredicesima volta oppure posso raccogliere a due a due $(1, 0, 2)*(1, 0,2) = (1, 0, 2)$ e semplificarmi i calcoli tanto da non dover calcolare praticamente niente in quanto alla fine viene un solo $(1, 0, 2)*(1, 0, 2) = (1, 0, 2)$?
Spero che il mio procedimento si sia capito.
Risposte
Sono riuscito a risolvere l'esercizio dopo varie prove e l'ordine di $(1, 0 , 2)$ è 13, quindi l'elemento è un generatore del gruppo moltiplicativo.
Ora ho un dubbio su un altro esercizio. Ho sempre un campo di Galois $GF(3^3)$ e l'elemento $(1,2,1)$ di cui si vuole sapere il suo ordine questa volta nel campo. Ora l'ordine del campo è 27 quindi dovrei cercare quello dell'elemento tra 3 o 9 o 27, in questo caso sarebbe un generatore per il campo. Non sono convinto che lo stesso svolgimento valga sia per i campi che per i gruppi.
Ora ho un dubbio su un altro esercizio. Ho sempre un campo di Galois $GF(3^3)$ e l'elemento $(1,2,1)$ di cui si vuole sapere il suo ordine questa volta nel campo. Ora l'ordine del campo è 27 quindi dovrei cercare quello dell'elemento tra 3 o 9 o 27, in questo caso sarebbe un generatore per il campo. Non sono convinto che lo stesso svolgimento valga sia per i campi che per i gruppi.
La tua notazione $(1,0,2)$ non ha senso se non ci spieghi come
rappresenti gli elementi del tuo campo di $27$ elementi ...
rappresenti gli elementi del tuo campo di $27$ elementi ...
con $(a,b,c)$ intendo un polinomio a coefficienti in $Zn[t]$ del tipo $a+b*t+c*t^2$
Mi immagino che scrivi il tuo campo di $27$ elementi come
un anello quoziente $ZZ_3[t]$/$(f)$, dove $f$ e' un polinomio irriducibile di grado $3$.
In $ZZ_3[t]$ ci sono otto polinomi irriducibili di grado $3$.
Se non dici quale polinomio $f$ stai usando, la tua notazione $(a,b,c)$ non ha senso.
un anello quoziente $ZZ_3[t]$/$(f)$, dove $f$ e' un polinomio irriducibile di grado $3$.
In $ZZ_3[t]$ ci sono otto polinomi irriducibili di grado $3$.
Se non dici quale polinomio $f$ stai usando, la tua notazione $(a,b,c)$ non ha senso.
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