[Esercizio] operazioni con gli insiemi

[gundamrx91-votailprof]

Se [tex]A \subset B \Rightarrow A \cup B = B \Rightarrow A \cap B = A \Rightarrow A \subset B[/tex]

Bene, se studio la proposizione con i diagrammi di Venn trovo che sia banalmente vera. Dimostrarlo invece mi sta sfiancando
Parto dalle definizioni:

[tex]A \subset B := \{x | x \in A \Rightarrow x \in B\}[/tex]
[tex]A \cup B = B := \{x | x \in A \lor x \in B \Leftrightarrow x \in B \}[/tex]
[tex]A \cap B = A := \{x | x \in A \land x \in B \Leftrightarrow x \in A \}[/tex]

Ho provato la prima implicazione [tex]A \subset B \Rightarrow A \cup B = B[/tex], però non so se devo valutare l'inclusione da sola per arrivare all'unione o devo valutare entrambe le proposizioni. Nel primo caso avrei:

[tex](x \in A \Rightarrow x \in B)[/tex]

mentre nel secondo caso:

[tex](x \in A \Rightarrow x \in B) \Rightarrow (x \in A \lor x \in B \Leftrightarrow x \in B)[/tex].

Supponiamo che devo partire dall'inclusione semplice. Allora dato che [tex](x \in A \Rightarrow x \in B)[/tex] è equivalente a [tex](\neg x \in A \lor x \in B)[/tex] ora dovrei aggiungere delle proposizioni che non modifichino la veridicità dell'attuale, e che opportunamente manipolate mi permettano di arrivare all'unione dei due insiemi, solo che qualsiasi cosa faccia arrivo sempre ad un punto morto.

[xunil1987]

Credo che tu stia facendo un po' di confusione con le notazioni. Quando scrivi $A \subset B$ stai indicando una relazione binaria tra insiemi, quindi a destra di "$: =$" non puoi metterci la definizione di un insieme così come hai fatto.
Scrivi $A \subset B$ quando accade che $\forall x. x \in A \Rightarrow x \in B$.

Ti aiuto con la prima implicazione. Partendo da $A \subset B$, vuoi dimostrare che $A \cup B = B$. Puoi farlo per doppia inclusione. Il fatto che $B \subseteq A \cup B$ è banale. Per l'altra ($A \cup B \subseteq B$), sia $x \in A \cup B$ e mostriamo che $x \in B$.
Per la definizione di $A \cup B$ si ha che $x \in A \vee x \in B$, dunque distinguiamo i due casi.

Se $x \in A$ allora, per ipotesi, si ha che $x \in B$ e dunque l'asserto.
Se $x \in B$ allora l'asserto segue immediatamente.
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Spero di essere stato chiaro

[gundamrx91-votailprof]

Vero, la notazione per l'inclusione è errata: [tex]A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)[/tex]
Il fatto è che pensavo di riuscire a fare una dimostrazione meno "descrittiva" ma più formale...