Esercizio omomorfismo di anelli

[piso88]

Ciao a tutti.
Stavo risolvendo un esercizio su anelli e omomorfismi ma mi sono bloccato già alla prima richiesta.
L'esercizio dice:

Sia R un anello e supponiamo che l'applicazione $ f:R rarr R $ data da $f(x)=x^{2}$ sia un omomorfismo di anelli.

Far vedere che R è un anello commutativo.

Allora, utilizzando la definizione di omomorfismo arrivo a dire che: se $x,y \in R$ allora $xy+yx=0$ (utilizzando $f(x+y)=f(x)+f(y)$) e $xyxy=x^2y^2$ (utilizzando $f(xy)=f(x)f(y)$).
Da qui però non mi sembra così ovvio che $\forall x,y \in R$ $xy=yx$.
qualcuno ha qualche idea?

[vict85]

"piso88":Ciao a tutti.
Stavo risolvendo un esercizio su anelli e omomorfismi ma mi sono bloccato già alla prima richiesta.
L'esercizio dice:

Sia R un anello e supponiamo che l'applicazione $ f:R rarr R $ data da $f(x)=x^{2}$ sia un omomorfismo di anelli.

Far vedere che R è un anello commutativo.

Allora, utilizzando la definizione di omomorfismo arrivo a dire che: se $x,y \in R$ allora $xy+yx=0$ (utilizzando $f(x+y)=f(x)+f(y)$) e $xyxy=x^2y^2$ (utilizzando $f(xy)=f(x)f(y)$).
Da qui però non mi sembra così ovvio che $\forall x,y \in R$ $xy=yx$.
qualcuno ha qualche idea?

Da $xy+yx=0$ trovi $xy = -yx$ cosa che non ha senso. Immagino sia un errore di disattenzione. Ma in generale mi sono perso alcuni tuoi passaggi.


$f(x+y) = f(x) + f(y)$ cioè $x^2+y^2+2xy = x^2+y^2$ cioè $2xy = 0$... ma questo servirà più avanti immagino.
$f(x)f(y) = f(xy)$ cioè $x^2y^2 = xyxy$ da cui $x^{-1}xxyyy^{-1} = yx$ da cui è immediato $xy=yx$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

vict, non capisco le tue obiezioni...

"vict85":Da $xy+yx=0$ trovi $xy = -yx$ cosa che non ha senso.

Beh, non e' vero che non ha senso..

$f(x+y) = f(x) + f(y)$ cioè $x^2+y^2+2xy = x^2+y^2$ cioè $2xy = 0$... ma questo servirà più avanti immagino.

Non e' [tex]2xy[/tex] ma [tex]xy+yx[/tex].

$f(x)f(y) = f(xy)$ cioè $x^2y^2 = xyxy$ da cui $x^{-1}xxyyy^{-1} = yx$ da cui è immediato $xy=yx$.

In generale non si puo' parlare di inversi...

piso88, hai gia' trovato tutto quello che ti serve. Hai trovato che [tex]xy+yx=0[/tex], cioe' [tex]xy=-yx[/tex], quindi per concludere ti basta mostrare che [tex]1=-1[/tex], cioe' [tex]2=0[/tex].

[Gi81]

"vict85":$f(x+y) = f(x) + f(y)$ cioè $x^2+y^2+2xy = x^2+y^2$ cioè $2xy = 0$...

Eh, no.
Anch'io avevo scritto questa cosa prima, ma poi mi sono accorto dell'errore.
Noi non sappiamo che l'anello è commutativo (lo dobbiamo dimostrare).
Quindi $(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2$

[piso88]

Grazie ad entrambi per la disponibilità.
Effettivamente non so se R è un campo quindi non so se un certo elemento ha un inverso o no.
Per quanto riguarda $(x+y)^2= x^2+2xy+y^2$ è proprio quello che devo dimostrare: $xy+yx=2xy$ solo se R è commutativo.

Per quanto riguarda il suggerimento di Martino:
$0=f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)=1+1=2$
giusto?
Grazie per la disponibilità.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Giusto.

[vict85]

"Martino":vict, non capisco le tue obiezioni...[quote="vict85"]Da $xy+yx=0$ trovi $xy = -yx$ cosa che non ha senso.

Beh, non e' vero che non ha senso..

$f(x+y) = f(x) + f(y)$ cioè $x^2+y^2+2xy = x^2+y^2$ cioè $2xy = 0$... ma questo servirà più avanti immagino.

Non e' [tex]2xy[/tex] ma [tex]xy+yx[/tex].

$f(x)f(y) = f(xy)$ cioè $x^2y^2 = xyxy$ da cui $x^{-1}xxyyy^{-1} = yx$ da cui è immediato $xy=yx$.

In generale non si puo' parlare di inversi...

piso88, hai gia' trovato tutto quello che ti serve. Hai trovato che [tex]xy+yx=0[/tex], cioe' [tex]xy=-yx[/tex], quindi per concludere ti basta mostrare che [tex]1=-1[/tex], cioe' [tex]2=0[/tex].[/quote]

Ho passato troppo tempo lontano dagli anelli direi...