Esercizio omomorfismi
Ciao a tutti,sto studiando per dare l'esame di algebra 2 ma ho ancora parecchie difficoltà quando incontro esercizi come il seguente:
Sia $ G $ un gruppo e supponiamo assegnato un omomorfismo $ phi:Grarr CC^X $ (con $ CC^X $ intendo $ CC-{0} $ )
1) Dimostrare che per ogni $ g,h in G $ si deve avere $ phi(ghg^(-1)h^(-1))=1 $
2) Supponiamo di sapere che $ phi $ è iniettivo. E' vero che G necessariamente abeliano?
3) Supponiamo che $ G $ possieda un sottogruppo isomorfo a $ (ZZ/(2ZZ))x(ZZ/(2ZZ)) $. Dimostrare che $ phi $ non è inettivo.
Ora io non so proprio cosa fare...per il primo punto l'unica cosa che ho pensato è che $ phi(ghg^(-1)h^(-1))=1 $ se G è abeliano...ma G puo' anche non esserlo quindi mi sta sfuggendo qualcosa...
Per quanto riguarda il punto 2 so che un morfismo è iniettivo se ha nucleo banale ma non vedo come questo possa aiutarmi...
qualcuno può aiutarmi? ho bisogno di un punto di partenza su cui ragionare...Grazie mille in anticipo a tutti!!!
Sia $ G $ un gruppo e supponiamo assegnato un omomorfismo $ phi:Grarr CC^X $ (con $ CC^X $ intendo $ CC-{0} $ )
1) Dimostrare che per ogni $ g,h in G $ si deve avere $ phi(ghg^(-1)h^(-1))=1 $
2) Supponiamo di sapere che $ phi $ è iniettivo. E' vero che G necessariamente abeliano?
3) Supponiamo che $ G $ possieda un sottogruppo isomorfo a $ (ZZ/(2ZZ))x(ZZ/(2ZZ)) $. Dimostrare che $ phi $ non è inettivo.
Ora io non so proprio cosa fare...per il primo punto l'unica cosa che ho pensato è che $ phi(ghg^(-1)h^(-1))=1 $ se G è abeliano...ma G puo' anche non esserlo quindi mi sta sfuggendo qualcosa...
Per quanto riguarda il punto 2 so che un morfismo è iniettivo se ha nucleo banale ma non vedo come questo possa aiutarmi...
qualcuno può aiutarmi? ho bisogno di un punto di partenza su cui ragionare...Grazie mille in anticipo a tutti!!!
Risposte
forse dico una scemenza, ma non puoi sfruttare la commutatività di \(\mathbb C^X\)?
\(\phi(ghg^{-1}h^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(h)\cdot\phi(g^{-1})\cdot\phi(h^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(g^{-1})\cdot\phi(h)\cdot\phi(h^{-1})=\phi(gg^{-1}hh^{-1})\)
\(\phi(ghg^{-1}h^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(h)\cdot\phi(g^{-1})\cdot\phi(h^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(g^{-1})\cdot\phi(h)\cdot\phi(h^{-1})=\phi(gg^{-1}hh^{-1})\)
Hehe,hai ragione,non era difficile... 
e per caso hai idee anche sugli altri due punti?
e per caso hai idee anche sugli altri due punti?
\(\phi(ab)=\phi(a)\cdot\phi(b)=\phi(b)\cdot\phi(a)=\phi(ba)\)
se \(\phi\) è iniettivo e \(\phi(ab)=\phi(ba)\) segue che \(ab=ba\) quindi \(G\) è abeliano.
ma sei sicuro che sta roba sia algebra 2?
edit: sull'ultimo, potrebbe essere così:
se hai un sottogruppo isomorfo a \(\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z\) allora hai più elementi di periodo \(2\).
\(\phi(a^2)=\phi(1)\)
quindi \(|\ker(\phi)|>1\), quindi \(\phi\) non è iniettiva.
se \(\phi\) è iniettivo e \(\phi(ab)=\phi(ba)\) segue che \(ab=ba\) quindi \(G\) è abeliano.
ma sei sicuro che sta roba sia algebra 2?
edit: sull'ultimo, potrebbe essere così:
se hai un sottogruppo isomorfo a \(\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z\) allora hai più elementi di periodo \(2\).
\(\phi(a^2)=\phi(1)\)
quindi \(|\ker(\phi)|>1\), quindi \(\phi\) non è iniettiva.
"albertobosia":?
se hai un sottogruppo isomorfo a \(\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z\) allora hai più elementi di periodo \(2\).
\(\phi(a^2)=\phi(1)\)
quindi \(|\ker(\phi)|>1\), quindi \(\phi\) non è iniettiva.
Per il punto 2 ok, per il punto 3 non mi trovo...tu scrivi:
è vero che se un elemento ha periodo 2 allora \(\phi(a^2)=\phi(1)\) però così facendo non fai altro che calcolare l'immagine dell'elemento neutro, non stai dimostrando che nel nucleo dell'omomorfismo c'è più di un elemento...
"albertobosia":
se hai un sottogruppo isomorfo a \(\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z\) allora hai più elementi di periodo \(2\).
\(\phi(a^2)=\phi(1)\)
quindi \(|\ker(\phi)|>1\), quindi \(\phi\) non è iniettiva.
è vero che se un elemento ha periodo 2 allora \(\phi(a^2)=\phi(1)\) però così facendo non fai altro che calcolare l'immagine dell'elemento neutro, non stai dimostrando che nel nucleo dell'omomorfismo c'è più di un elemento...
avete ragione, è certamente errato.
non ho più guardato sto post...
ci penso ancora, se mi viene in mente qualcosa te lo scrivo
non ho più guardato sto post...
ci penso ancora, se mi viene in mente qualcosa te lo scrivo
Basta contare gli elementi di ordine 2 in [tex]\mathbb{C}^{\times}[/tex] 
Che non ce ne sono,giusto? 
"AlyAly":No, sbagliato.
Che non ce ne sono,giusto?
E quali sono?
Sono quegli elementi [tex]x \neq 1[/tex] tali che [tex]x^2=1[/tex] (è la definizione di "avere ordine 2").
Parlavo di elementi di ordine 2 in [tex]\mathbb{C}^{\times}[/tex], non in [tex]\mathbb{C}[/tex], scusami.
Parlavo di elementi di ordine 2 in [tex]\mathbb{C}^{\times}[/tex], non in [tex]\mathbb{C}[/tex], scusami.
L'unica elemento che mi viene in mente è la radice seconda dell'unità,è corretto?per caso ce ne sono altri?
"AlyAly":Vuoi dirmi che hai difficoltà a risolvere l'equazione [tex]x^2=1[/tex] su [tex]\mathbb{C}[/tex]?
L'unica elemento che mi viene in mente è la radice seconda dell'unità,è corretto?per caso ce ne sono altri?
le soluzioni non sono $ +- 1$ ?
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