Esercizio nucleo di equivalenza
Salve, ho un problema con questo esercizio e spero che qualcuno possa aiutarmi:
Sia f una funzione così definita:
$ f: P(NN) - \{ emptyset \} -> N $, $f(X) = min X$.
Ora, indicato con $R$ il nucleo di equivalenza di $f$, si descrivano in modo esplicito $ [{0,5}]_R $ ed $ [\{ 2^n | n in NN^**\} ]_R nn P(\{1, 2, 3\}) $
dove con $NN^**$ intendo l'insieme $NN$ privato dello zero.
Non so come procedere, pensavo di considerare tutti gli insiemi il cui minimo è $0$ per la prima classe, mentre per la seconda non ho idee.
Grazie in anticipo.
Sia f una funzione così definita:
$ f: P(NN) - \{ emptyset \} -> N $, $f(X) = min X$.
Ora, indicato con $R$ il nucleo di equivalenza di $f$, si descrivano in modo esplicito $ [{0,5}]_R $ ed $ [\{ 2^n | n in NN^**\} ]_R nn P(\{1, 2, 3\}) $
dove con $NN^**$ intendo l'insieme $NN$ privato dello zero.
Non so come procedere, pensavo di considerare tutti gli insiemi il cui minimo è $0$ per la prima classe, mentre per la seconda non ho idee.
Grazie in anticipo.
Risposte
Intanto, cos'è il "nucleo di equivalenza" di \(f : A \to B\)? E' la relazione \(R \subseteq A \times A\) fatta dalle coppie $(a,a')$ tali che \(fa = fa'\). Nel tuo caso, $a,a'$ sono sottoinsiemi non vuoti di \(\mathbb N\) che hanno lo stesso minimo; allora, la classe di equivalenza di \(\{0,5\}\) è l'insieme dei sottoinsiemi non vuoti di \(\mathbb N\) che hanno minimo zero. Questo insieme è fatto da tutti gli insiemi della forma \(\{0\}\cup U\) dove $U$ è un qualsiasi sottoinsieme di \(\mathbb N\).
Per il secondo insieme, è solo meno immediato trovarne il minimo: del resto stai prendendo i sottoinsiemi di \(\{1,2,3\}\) che sono fatti da elementi della forma\(2^n\) per $n\ge 1$, non è difficile.
Per il secondo insieme, è solo meno immediato trovarne il minimo: del resto stai prendendo i sottoinsiemi di \(\{1,2,3\}\) che sono fatti da elementi della forma\(2^n\) per $n\ge 1$, non è difficile.
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