Esercizio multipli di 5

[rgiordan]

Si dimostri che se $a$ e $b$ non sono multipli di $5$ (ossia se $a=5h+i$ e $b=5k+j$ con $h,k$ naturali e $i,j=1,2,3,4$) allora uno dei due nautrali $n=a^2+b^2$ oppure $m=a^2-b^2$ è multiplo di $5$.

Pensavo di procedere come segue...

$n=(5h+i)^2+(5k+j)^2$
$25h^2+i^2+10hi+25k^2+j^2+10kj$

pongo $h=k$ e ho $n$ multiplo di $5$ sse $5|i^2+j^2$

A questo punto però non capisco se devo valutare i casi uno per uno prendendo tutte le possibili combinazioni $i,j$ o se esiste un metodo più scientifico.

E lo stesso farei per $m$.

[maurer]

Chi sono i residui quadratici modulo 5? Un rapido conto ti mostra che essi sono [tex]1, 4[/tex]. Supponiamo ad esempio [tex]a^2 \equiv 1 \pmod{5}[/tex]. Allora se [tex]b^2 \not \equiv a^2 \equiv 1 \pmod{5}[/tex] ossia se [tex]a^2 - b^2 \not \equiv 0 \pmod{5}[/tex], necessariamente [tex]b^2 \equiv 4 \pmod{5}[/tex], da cui [tex]a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{5}[/tex].
Se invece [tex]a^2 \equiv 4 \pmod{5}[/tex] e [tex]b^2 \not \equiv a^2 \equiv 4 \pmod{5}[/tex] allora [tex]b^2 \equiv 1 \pmod{5}[/tex] e quindi [tex]a^2 + b^2 \equiv 1 + 4 \equiv 0 \pmod{5}[/tex].

[rgiordan]

Ho dovuto capire cosa sono i residui quadratici, ma spero di avere capito.
Onde evitare strafalcioni provo un'altro esercizio ed evntualmente lo posto, grazie.

[maurer]

Sì, ok.
Comunque i residui quadratici sono tutti e soli i numeri che ammettono una "radice quadrata", ossia tutti gli [tex]\alpha[/tex] per cui [tex]x^2 - \alpha[/tex] ha almeno una soluzione.
Si può dimostrare che se [tex]p[/tex] è un numero primo allora in [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] ci sono esattamente [tex]\frac{p-1}{2}[/tex] residui quadratici e altrettanti non-residui quadratici.