Esercizio monoidi-gruppi

[laradt]

ciao!
in un vecchio compito d'esame il mio prof ha dato il seguente esercizio, io ho provato a svolgerlo ma vorrei una conferma!

Sia M un monoide in cui ogni elemento è invertibile a destra. Si dimostri che M è un gruppo.

io ho pensato:

$ M={ a, b, c, ... , m ... } $ e $ m * n = 1 $

quindi $ m = 1*m = m * n * m $ e perchè l'uguaglianza sia vera deve necessariamente essere $ m= m*1 $ cioè
$ n * m = 1 $ che dimostra che ogni elemento di M è invertibile e quindi M è un gruppo.

E' corretto questo svolgemento?

Grazie

[blackbishop13]

"laradt":
$ m = 1*m = m * n * m $ e perchè l'uguaglianza sia vera deve necessariamente essere $ m= m*1 $ cioè

ciao!
ma sì mi sembra una buona idea, sfrutti il fatto che in un monoide [tex]$a \cdot b = a \Rightarrow b=1$[/tex].

ti propongo un esercizio molto simile, ma leggermente più difficile e generale:
hai [tex]$(G,\cdot)$[/tex] insieme con prodotto associativo, inoltre sai che [tex]$\exists e \in G \text{ t.c. } \forall g \in G\ e \cdot g = g$[/tex]
e anche che [tex]$\forall g \in G\ \exists g^{-1} \in G \text{ t.c. } g^{-1}g=e$[/tex]

allora [tex]$G$[/tex] è un gruppo.

[laradt]

per dire che $ (G, *) $ è gruppo devo dimostrare che $ e $ è l'identità, il fatto che è invertibile viene di conseguenza.
Ho però dei problemi a dimostrare che $ e $ è identità.

[laradt]

forse ho capito:
se sfrutto la relazione $ e*g=g $ posso scrivere $ g * e = e * g * e $ e questo è vero solo se $ e $ è l'identità.

E' corretto?
poi per l'invertibilità si procede come nel mio esercizio.

[blackbishop13]

eh ma in questo caso non hai l'unicità dell' "elemento neutro a sinstra" .

[laradt]

umh...e quindi come posso fare?