Esercizio matematica discreta sulle relazioni di equivalenza e insieme quoziente
Sia $~$ una relazione di equivalenza definita su $Z x Z$ tale che se $(a, b) ~ (c, d)$ allora $2^{a^{2} + d^{2}} \equiv 2^{b^{2} + c^{2}} mod 5$.
Sia $f: Z x Z -> Z/4Z$ tale che per ogni $(a, b) \in Z x Z$ si abbia $f( (a, b) ) = a^{2} - b^{4} + 4Z$ ....
Devo mostrare che la relazione di equivalenza indotta dalla mappa $f$ che denoto con $~_{f}$ su $Z x Z$ è uguale alla relazione di equivalenza definita precedentemente $~$.
.... Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra due relazioni di equivalenza? ..... Quando due relazioni di equivalnze sono uguali?
Ho iniziato cercando di capire come è fatto l'insieme quoziente .... in entrambi i casi ovvero come viene partizionato $Z x Z$ dalle due relazioni di equivalenza e se non erro viene partizionato nel seguente modo
Se $(a,b)$ è un elemento di $Z x Z$ con entrambe le coordinate pari appartiene alla classe $[1]_{~}$ altrimenti se entrambe le coordinate sono dispari appartiene alla classe $[4]_{~}$.
Se invece le coordinate sono una pari e una dispari appartiene alla classe $[2]_{~}$.
Per quanto riguarda la relazione indotta da $f$ mi suddivide $Z x Z$ nel seguente modo
(a,b) con entrambe le coordinate pari o dispari.
(a, b) con la prima coordinata pari e la seconda dispari.
(a, b) con la prima coordinata dispari e la seconda pari.
Ma poi mi blocco e non so più come procedere
Grazie
Sia $f: Z x Z -> Z/4Z$ tale che per ogni $(a, b) \in Z x Z$ si abbia $f( (a, b) ) = a^{2} - b^{4} + 4Z$ ....
Devo mostrare che la relazione di equivalenza indotta dalla mappa $f$ che denoto con $~_{f}$ su $Z x Z$ è uguale alla relazione di equivalenza definita precedentemente $~$.
.... Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra due relazioni di equivalenza? ..... Quando due relazioni di equivalnze sono uguali?
Ho iniziato cercando di capire come è fatto l'insieme quoziente .... in entrambi i casi ovvero come viene partizionato $Z x Z$ dalle due relazioni di equivalenza e se non erro viene partizionato nel seguente modo
Se $(a,b)$ è un elemento di $Z x Z$ con entrambe le coordinate pari appartiene alla classe $[1]_{~}$ altrimenti se entrambe le coordinate sono dispari appartiene alla classe $[4]_{~}$.
Se invece le coordinate sono una pari e una dispari appartiene alla classe $[2]_{~}$.
Per quanto riguarda la relazione indotta da $f$ mi suddivide $Z x Z$ nel seguente modo
(a,b) con entrambe le coordinate pari o dispari.
(a, b) con la prima coordinata pari e la seconda dispari.
(a, b) con la prima coordinata dispari e la seconda pari.
Ma poi mi blocco e non so più come procedere
Grazie
Risposte
Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra due relazioni di equivalenza? ..... Quando due relazioni di equivalnze sono uguali?Beh, sono due sottoinsiemi di uno stesso insieme, sono uguali quando sono contenuti uno nell'altro.
"megas_archon":Come faccio a dimostrare l'uguaglianza fra due relazioni di equivalenza? ..... Quando due relazioni di equivalnze sono uguali?Beh, sono due sottoinsiemi di uno stesso insieme, sono uguali quando sono contenuti uno nell'altro.
Si ma c'è un caso in cui un elemento di un insieme è contenuto in due elementi dell'altro.. In questo caso va bene uguale?... Perché pensavo che due insiemi fossero uguali quando avessero gli stessi elementi ... Ma come torna a me non sarebbe proprio così
Non si capisce che cos'hai scritto.
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