Esercizio matematica discreta

[vincenzo971]

Quali soluzioni ha in $ Z_56 $ l’equazione
$ x^12 + 4x^2 = 0 $ ?


[size=150]mi potete spiegare tutti passaggi e come svolgere problemi di stessa tipologia?
grazie [/size]

[jinsang]

Devi risolvere questa congruenza: $x^12+4x^2-=0 mod56$

Osservi che $56=7*8$ e $mcd(7,8)=1$ quindi usi il teorema cinese del resto e hai:

${ ( x^12+4x^2-=0 mod7 ),( x^12+4x^2-=0 mod8 ):}$

Per la prima si ha: $x-=0 mod7$ è soluzione
Altrimenti $x\ne 0 mod 7 \Rightarrow (x,7)=1$ dato che sono coprimi uso il teorema di Eulero e ho

$phi(7)=6 \Rightarrow x^6-=1 mod7 \Rightarrow x^12+4x^2-=1+4x^2-=0 mod7 \Leftrightarrow 4x^2-=-1 mod7 \Leftrightarrow x^2-=-2 mod7$

A questo punto studi i quadrati modulo 7 e vedi che non ce ne sono di congrui a -2.

Se hai capito ripeti il procedimento per l'altra congruenza, se no chiedi

[vincenzo971]

"jinsang":Devi risolvere questa congruenza: $x^12+4x^2-=0 mod56$

Osservi che $56=7*8$ e $mcd(7,8)=1$ quindi usi il teorema cinese del resto e hai:

${ ( x^12+4x^2-=0 mod7 ),( x^12+4x^2-=0 mod8 ):}$

Per la prima si ha: $x-=0 mod7$ è soluzione
Altrimenti $x\ne 0 mod 7 \Rightarrow (x,7)=1$ dato che sono coprimi uso il teorema di Eulero e ho

$phi(7)=6 \Rightarrow x^6-=1 mod7 \Rightarrow x^12+4x^2-=1+4x^2-=0 mod7 \Leftrightarrow 4x^2-=-1 mod7 \Leftrightarrow x^2-=-2 mod7$

A questo punto studi i quadrati modulo 7 e vedi che non ce ne sono di congrui a -2.

Se hai capito ripeti il procedimento per l'altra congruenza, se no chiedi

ho provato a risolvere la seconda parte
ma sono arrivato ad un punto e non so andare avanti.
$ 4x^2-=-1(mod8) $
ho usato lo stesso identico procedimento di prima ma ora che faccio?

[jinsang]

Se guardi la diofantea associata ti convincerai che quella congruenza non ha soluzioni, infatti:

$4x^2-=-1 mod8$

si può scrivere come

$4x^2=-1+8t$ con $t in Z$ e quindi $8t-4x^2=1$

Considera quell'equazione come una diofantea con incognite $t$ e $x^2$
Hai che $mcd(-8,4)$ non divide $1$ quindi la diofantea non ha soluzioni, quindi anche la congruenza.

[vincenzo971]

"jinsang":Se guardi la diofantea associata ti convincerai che quella congruenza non ha soluzioni, infatti:

$4x^2-=-1 mod8$

si può scrivere come

$4x^2=-1+8t$ con $t in Z$ e quindi $8t-4x^2=1$

Considera quell'equazione come una diofantea con incognite $t$ e $x^2$
Hai che $mcd(-8,4)$ non divide $1$ quindi la diofantea non ha soluzioni, quindi anche la congruenza.

questa è la soluzione data dal prof e la seconda ha soluzione 2,4,6.
Come è possibile sto sbagliando qualcosa?

Posto x = [y]56 ∈ Z56, il problema è equivalente alla congruenza y12 + 4y2 ≡ 0 (mod 56), che possiamo spezzare in un sistema modulo 7 e 8. (mod 7) y ≡ 0 (mod 7) èsoluzione. Se 7 - y è y6 ≡ 1 (mod 7) equindi 4y2+1 ≡ 0 (mod 7), ovvero y2 ≡ 5. Ma 5 non è un quadrato modulo 7 (infatti 12 ≡ 62 ≡ 1 (mod 7), 22 ≡ 52 ≡ 4 (mod 7) e 32 ≡ 52 ≡ 2 (mod 7), per cui i soli quadrati modulo 7 sono 1,2,4 e 0) e quindi non ci sono altre soluzioni. (mod 8) Se 2 | y ⇒ y è soluzione. Infatti y12 +4y2 = y2(y10 +4) è multiplo di 8 sicuramente. Se 2 - y ⇒ y4 ≡ 1 (mod 8). In realtà, 12 ≡ 32 ≡ 52 ≡ 72 ≡ 1 per cui y2 ≡ 1 e y12 + 4y2 ≡ 1 + 4 = 5. Perciò le soluzioni sono tutte e sole le classi di Z56 che si ottengono dai quattro sistemi
(y ≡ 0 (mod 7) y ≡ 0 (mod 8) ,
(y ≡ 0 (mod 7) y ≡ 2 (mod 8) ,
(y ≡ 0 (mod 7) y ≡ 4 (mod 8) ,
(y ≡ 0 (mod 7) y ≡ 6 (mod 8)
e cioè [0], [42], [28], [14].

[jinsang]

Potresti mettere i $ quando scrivi in matematichese così è tutto più carino e comprensibile

Tornando al problema, se hai seguito lo stesso procedimento di prima quelle soluzioni dovrebbero venir fuori anche a te.

Per la seconda

"jinsang":Se guardi la diofantea associata ti convincerai che quella congruenza non ha soluzioni, infatti:

$ 4x^2-=-1 mod8 $

si può scrivere come

$ 4x^2=-1+8t $ con $ t in Z $ e quindi $ 8t-4x^2=1 $

Considera quell'equazione come una diofantea con incognite $ t $ e $ x^2 $
Hai che $ mcd(-8,4) $ non divide $ 1 $ quindi la diofantea non ha soluzioni, quindi anche la congruenza.

Questo è il caso in cui $mcd(8,x)=1$ per cui hai potuto usare il teo. di Eulero.

Occorre analizzare anche i casi in cui $(8,x) \ne 1$ ovvero i casi in cui $x$ è pari.

Possiamo quindi riscrivere $x=2k$ quindi risolviamo:

$(2k)^12+4(2k)^2-=0 mod8$

Osserviamo che questa è valida $AA k$ quindi tutte le $x$ pari risolvono.