Esercizio isomorfismo su $RR[x]$

[Izzy412]

Salve di nuovo
Avrei un piccolo problema con un esercizio. Forse non riesco a vedere la soluzione, ma dopo ore e ore a studiare algebra sono un po' confusa.
L'esercizio dice:

Sia $f$ un polinomio irriducibile di $RR[x]$
a) Dimostrate che se $degf=1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $RR$
b) Dimostrate che se $degf>1$, allora $(RR[x])/((f))$ è isomorfo a $CC$

Non so da dove iniziare. Studiare l'isomorfismo? Vedere dove mi porta il fatto che $f$ sia irriducibile?
Mi potete aiutare per favore? Grazie

[Mascaretti]

Ci sono due teoremi che possono aiutarti, ti riporto gli enunciati:

1) Sia $A$ anello, $I$ ideale di $A$: $frac A I$ è campo se e solo se $I$ è massimale.

2) Sia $f(x) in K[x]$: allora $(f(x))$ è massimale se e solo se $f(x)$ è irriducibile.

Se non li conosci ti consiglio di provare a dimostrarli...non è affatto semplice ma di sicuro è un ottimo esercizio.

[Richard_Dedekind]

Almeno nel primo caso, l'isomorfismo lo puoi costruire molto facilmente; basta vedere quali sono i polinomi che stanno dentro al quoziente \(\mathbb{R}[x]/(f)\) (suggerimento: usa il teorema di divisione con resto).

[maurer]

"Mascaretti":
Se non li conosci ti consiglio di provare a dimostrarli...non è affatto semplice ma di sicuro è un ottimo esercizio.

Dipenderà un po' dai punti di vista, spero! Se non conosci questi risultati, dovresti fare in modo che diventino più naturali che il respirare, almeno se vuoi proseguire su una strada algebrica!

Comunque, il primo è assai facile. Il secondo anche... basta osservare che se [tex]f[/tex] è irriducibile, [tex]K[x]/(f)[/tex] è un campo che contiene una radice di [tex]f[/tex]... (per aiutarti, anche se non è esattamente necessario per svolgere l'esercizio, potrebbe essere utile ricordare chi sono i polinomi irriducibili di grado > 1 di [tex]\mathbb R[/tex]).

[Mascaretti]

"maurer":
Dipenderà un po' dai punti di vista, spero! Se non conosci questi risultati, dovresti fare in modo che diventino più naturali che il respirare, almeno se vuoi proseguire su una strada algebrica!

Chiedo umilmente scusa, in effetti ne ho parlato come se fosse chissà che, ma capisco che possano essere delle cose molto basilari per voi matematici. Io sono un fisico che deve iniziare il secondo anno, per quello non le do esattamente per scontate...spero almeno, a questo punto, di aver detto delle cose sensate.

[maurer]

Non è il caso che ti scusi. Dipende infatti anche dall'anno in cui ti trovi. Quando facevo il primo anno erano considerati difficili, ma adesso sono risultati dati (giustamente) per scontati!