Esercizio isomorfismo di anelli
Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio, su cui proprio non so dove mettere mano!
Il testo è questo:
Calcolare la struttura dei seguenti anelli, mostrando che valgono gli isomorfismi suggeriti:
$ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-15) è isomorfo a F[size=50]3[/size] (che dovrebbe indicare un campo di tre elementi, giusto?).
$ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-8) è isomorfo a F[size=50]2[/size][x] $ xx $ F[size=50]5[/size]
Il problema grosso è che non riesco a capire come sono fatti $ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-15) e $ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-8) . Ho provato a smanacciare un po' ma non mi viene in mente niente.
Avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio, su cui proprio non so dove mettere mano!
Il testo è questo:
Calcolare la struttura dei seguenti anelli, mostrando che valgono gli isomorfismi suggeriti:
$ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-15) è isomorfo a F[size=50]3[/size] (che dovrebbe indicare un campo di tre elementi, giusto?).
$ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-8) è isomorfo a F[size=50]2[/size][x] $ xx $ F[size=50]5[/size]
Il problema grosso è che non riesco a capire come sono fatti $ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-15) e $ ZZ [x] $/(2x-6, 6x-8) . Ho provato a smanacciare un po' ma non mi viene in mente niente.
Risposte
Per il primo ho provato ad abbozzare questo:
ricordando che i generatori di un ideale non sono unici, ma possono essere sostituiti con delle loro combinazioni lineari, considero $2(6x-15)-6(2x-6)=6$ da cui ottieni l'ideale $(2x-6,6)$. Quindi il nostro anello $ZZ[x]//(2x-6,6x-15) \cong ZZ[x]//(6,2x-6) \cong ZZ_6[x]//(2x-6) \cong ZZ_6[x]//(2x) \cong ZZ_3[x]//(x) \cong ZZ_3$.
E' giusto un'idea, controlla e sistema tu i passaggi. E nel caso verifica se ci sono errori
Per il secondo provo a pensarci ora.
ricordando che i generatori di un ideale non sono unici, ma possono essere sostituiti con delle loro combinazioni lineari, considero $2(6x-15)-6(2x-6)=6$ da cui ottieni l'ideale $(2x-6,6)$. Quindi il nostro anello $ZZ[x]//(2x-6,6x-15) \cong ZZ[x]//(6,2x-6) \cong ZZ_6[x]//(2x-6) \cong ZZ_6[x]//(2x) \cong ZZ_3[x]//(x) \cong ZZ_3$.
E' giusto un'idea, controlla e sistema tu i passaggi. E nel caso verifica se ci sono errori
Per il secondo provo a pensarci ora.
Ti ringrazio, ora ci dò un'occhiata.
Ps: potrebbe essere utile provare a dimostrare che l'ideale (2x-6, 6x-15) è massimale?
Ps: potrebbe essere utile provare a dimostrare che l'ideale (2x-6, 6x-15) è massimale?
Mmm se dimostri l'isomorfismo, quell'informazione ce l'hai "gratis", visto che ti serve provare che è isomorfo esattamente a quel campo non credo.
Il procedimento che hai usato per "trasformare" l'ideale (2x-6, 6x-15) funziona in questo caso, ma è possibile applicarlo per ogni ideale generato da più elementi?
Certo. L’insieme dei generatori non è univocamente determinato. Ad esempio, è possibile sostituire ogni elemento con la somma dello stesso elemento e di una combinazione lineare degli altri generatori a coefficienti nell'anello.
Scusa, ma serve una divisione euclidea? Se ho $I=(g_1, g_2)$ e riesco a scrivermi $ g_2= g_1 q+r$ allora l'ideale $J=(g_1, r)$ e l'ideale $I$ sono uguali.
Altrimenti se faccio una semplice combinazione lineare $g_2^{\prime}=\alpha g_1 + \beta g_2$ e prendo $J=(g_1 ,g_2^{\prime} )$, mi serve $\beta$ invertibile, giusto?
Altrimenti se faccio una semplice combinazione lineare $g_2^{\prime}=\alpha g_1 + \beta g_2$ e prendo $J=(g_1 ,g_2^{\prime} )$, mi serve $\beta$ invertibile, giusto?
No, non c'è alcun bisogno che sia invertibile. Ciò che ti ho scritto vale senza alcuna ipotesi aggiuntiva.
Guarda qui fine pagina 2 inizio pagine 3
Guarda qui fine pagina 2 inizio pagine 3
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo