Esercizio Isomorfismo
Ciao avrei dei dubbi su questo esercizio:
Siano U e W sottoinsiemi di $RR^4$ :
U:{(x,y,w,z): x+z=0}
W:{(x,y,w,z): y+w=0}
A)Mostrare che U e V sono spazi vettoriali
... come faccio per mostrarlo??
B)Stabilire che la seguente applicazione lineare T:U ->V è un isomorfismo:
T(x,y,w,-x)=(w,x,-x,y)
Per dimostrare che è un isomorfsimo devo dimostrare che è sia iniettiva che suriettiva ovvero che:
N(L)={0}
L(U)=W
ma come faccio a dimostrarlo??
Siano U e W sottoinsiemi di $RR^4$ :
U:{(x,y,w,z): x+z=0}
W:{(x,y,w,z): y+w=0}
A)Mostrare che U e V sono spazi vettoriali
... come faccio per mostrarlo??
B)Stabilire che la seguente applicazione lineare T:U ->V è un isomorfismo:
T(x,y,w,-x)=(w,x,-x,y)
Per dimostrare che è un isomorfsimo devo dimostrare che è sia iniettiva che suriettiva ovvero che:
N(L)={0}
L(U)=W
ma come faccio a dimostrarlo??
Risposte
Per dimostrare la suriettivita posso fare in qeusto modo??
T(1,0,0,0)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(0,0,1,0)
T(0,1,-1,0)=(0,1,-1,0)
e ottengo: <(0,1,-1,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,-1,0)>
A cui elimino l'ultimo vettore in quanto dipende dal primo: <(0,1,-1,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)>
Ma in questo caso risulta o meno suriettiva?? sempre se il procedimento è giusto...
T(1,0,0,0)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(0,0,1,0)
T(0,1,-1,0)=(0,1,-1,0)
e ottengo: <(0,1,-1,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,-1,0)>
A cui elimino l'ultimo vettore in quanto dipende dal primo: <(0,1,-1,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)>
Ma in questo caso risulta o meno suriettiva?? sempre se il procedimento è giusto...
Per la A) puoi mostrare che ogni combinazione lineare finita di elementi dello spazio appartiene ancora allo spazio. Per la B) potresti scrivere la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare ed osservare che è invertibile.
Il fatto che due spazi vettoriali con la stessa dimensione (finita, in questo caso) siano isomorfi non vuol dire che ogni applicazione lineare di uno spazio nell'altro sia un isomorfismo. Ad esempio, $\mathbb{R}^3$ è banalmente isomorfo a se stesso (mediante l'applicazione identica), però l'applicazione $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: (x_1, x_2, x_3) \mapsto (0, 0, 0)$ non è un isomorfismo. Piuttosto, nel caso precedente, basta dimostrare l'applicazione è initiettiva, e la suriettività verrebbe gratis, oppure il viceversa. Magari però non ho capito quello che intendevi realmente...
Una pignoleria: garantire che ogni combinazione lineare finita degli elementi dello spazio appartiene ancora allo spazio basta a garantire che anche il vettore nullo vi appartenga (basta prendere una combinazione lineare con coefficienti tutti nulli.)
Una pignoleria: garantire che ogni combinazione lineare finita degli elementi dello spazio appartiene ancora allo spazio basta a garantire che anche il vettore nullo vi appartenga (basta prendere una combinazione lineare con coefficienti tutti nulli.)
ehm.. scusate ma mi sono un po perso..
come lo faresti te??
cioe tenedo conto di usare le due "definizioni" di iniettivita e suriettivita ke ho riportato nel mio primo messaggio come le applicheresti a questo esercizio, puoi, se non è un problema, impostare la dimostrazione??
Grazie mille
Piuttosto, nel caso precedente, basta dimostrare l'applicazione è initiettiva, e la suriettività verrebbe gratis, oppure il viceversa. Magari però non ho capito quello che intendevi realmente...
come lo faresti te??
cioe tenedo conto di usare le due "definizioni" di iniettivita e suriettivita ke ho riportato nel mio primo messaggio come le applicheresti a questo esercizio, puoi, se non è un problema, impostare la dimostrazione??
Grazie mille
Scrivi la matrice che rappresenta l'applicazione e dimostra che le colonne sono vettori linearmente indipendenti. In questo modo hai dimostrato la suriettività (da cui segue subito l'iniettività).
Cioè in questo modo:
T(1,0,0,0)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(1,0,0,0)
T(0,0,0,1)=(0,-1,1,0)
$((0,0,1,0),(1,0,0,-1),(-1,0,0,1),(0,1,0,0))$
Ma cosi ottengo una matrice con la 1 e 4 colonna dipendenti , percio non invertibile da cui deduco che non è un isomorfismo??.. invece dovrebbe essere un isomorfismo
.. potete risp il rpima possibile, lunedi ho l'esame
Edit: ho fatto un po di errori nello scrivere la mia matrice, ora l'ho sistemata, avevo invertivo le righe con le colonne.
T(1,0,0,0)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(1,0,0,0)
T(0,0,0,1)=(0,-1,1,0)
$((0,0,1,0),(1,0,0,-1),(-1,0,0,1),(0,1,0,0))$
Ma cosi ottengo una matrice con la 1 e 4 colonna dipendenti , percio non invertibile da cui deduco che non è un isomorfismo??.. invece dovrebbe essere un isomorfismo
.. potete risp il rpima possibile, lunedi ho l'esame
Edit: ho fatto un po di errori nello scrivere la mia matrice, ora l'ho sistemata, avevo invertivo le righe con le colonne.
è sbagliato: non hai preso una base. infatti $(0,1,-1,0)=(0,1,0,0)-(0,0,1,0)$. per forza ottieni l'ultima riga lin. dip. dalle altre! altra cosa: in genere la matrice si costruisce per colonne, tu invece l'hai fatta per righe, attenzione a non confonderti.
(edit) mi spiego meglio: per costruire la matrice che rappresenta questa app.lineare in una base (supponiamo di usare la stessa base "in partenza" e "in arrivo" per semplicità(*), ma potremmo scegliere due basi diverse) hai bisogno delle coordinate delle immagini dei vettori della base stessa. Quindi se la tua base è $b={e_1, ldots, e_n}$, e l'applicazione è $T$, ti serve conoscere le coordinate dei vettori $T(e_1),ldots,T(e_n)$. (Ovviamente parliamo di coordinate rispetto alla base $b$). Tu invece come $b$ hai preso ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,1,-1,0)}$, che non è una base.
(riedit) (*) però per questo esercizio siamo costretti a scegliere due basi diverse, in quanto l'applicazione è tra spazi diversi...avevo letto troppo in fretta!
(edit) mi spiego meglio: per costruire la matrice che rappresenta questa app.lineare in una base (supponiamo di usare la stessa base "in partenza" e "in arrivo" per semplicità(*), ma potremmo scegliere due basi diverse) hai bisogno delle coordinate delle immagini dei vettori della base stessa. Quindi se la tua base è $b={e_1, ldots, e_n}$, e l'applicazione è $T$, ti serve conoscere le coordinate dei vettori $T(e_1),ldots,T(e_n)$. (Ovviamente parliamo di coordinate rispetto alla base $b$). Tu invece come $b$ hai preso ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,1,-1,0)}$, che non è una base.
(riedit) (*) però per questo esercizio siamo costretti a scegliere due basi diverse, in quanto l'applicazione è tra spazi diversi...avevo letto troppo in fretta!
Ok, ho sbagliato xke non ho preso una base.
Se prendessi b=<(1,0,0,-1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)>, questa è una base?? (ma è composta da tre elementi..mah..)
e in questo caso:
T(1,0,0,-1)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(1,0,0,0)
e otterei una matrice 4x3 ke non è invertibile..uff.. mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, qlc mi puo suggerire una base e un esempio per dimostrare che U eV sono spazi vettoriali???
Grazie mille
Se prendessi b=<(1,0,0,-1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)>, questa è una base?? (ma è composta da tre elementi..mah..)
e in questo caso:
T(1,0,0,-1)=(0,1,-1,0)
T(0,1,0,0)=(0,0,0,1)
T(0,0,1,0)=(1,0,0,0)
e otterei una matrice 4x3 ke non è invertibile..uff.. mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, qlc mi puo suggerire una base e un esempio per dimostrare che U eV sono spazi vettoriali???
Grazie mille
"rickp":
... mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua ...
rilassati!
Prima ti ho fatto confondere (ti chiedo scusa), perché non avevo letto bene la traccia del tuo esercizio 
e pensavo che ti servisse una base di $RR^4$, invece a te servono una base di U e una di V. Ma U e V saranno sottospazi vettoriali? 
La risposta è si, come dimostrarlo te l'hanno già detto in tutte le salse, io posso aggiungere un indizio: $U={(x,y,z,t) | x+z=0}$, leggi bene la condizione di appartenenza ad U... ti ricorda niente?
Per concludere un altro aiuto: chi ti ha detto che U e V hanno dimensione 4?
Per concludere un altro aiuto: chi ti ha detto che U e V hanno dimensione 4?
uhm.. nessuno
Ho ankora problemi con le basi, se prendo le seguenti vanno bene??
Bu=<(1,0,0,-1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)>
Bv=<(1,0,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,1)>
se poi creo la matrice applicando T alle mie due basi ottendo una matrice 6x4, devo trovare una sottomatrice 4x4 inveritibile??
o sono solo deliri dovuti al caldo??
Per il punto a so ke un'equazione lineare omogenea è sempre un sottospazio di $RR^4$ da cui posso dire semplicemente ke sia U ke V sono spazi vettoriali???
meglio ke mi do all'ippica vero??
no allora ... una cosa alla volta. punto A): U, V sono sottospazi vettoriali? Dobbiamo verificare che, per ogni $u_1, u_2 in U$, $v_1, v_2 in V$ e per ogni $lambda_1, lambda_2 in RR$ risulta che $lambda_1u_1+lambda_2u_2\inU, lambda_1v_1+lambda_2v_2\inV$. Questa è una proprietà che di sicuro vale per le soluzioni di sistemi di equazioni lineari omogenee. Perché?
Quindi U e V sono sottospazi vettoriali. Di che dimensione? Riusciamo a determinarne una base? Adesso ci torna comodo il fatto che U e V siano definiti da equazioni perché è facile calcolare una base. Infatti $U={(x,y,z,t)|x+t=0}$, quindi ogni vettore di U è di tipo $(-t,y,z,t)$, al variare di $y,z,t in RR$. Questo già ti fa capire che la dimensione di U è 3: servono infatti 3 parametri per identificare ogni suo vettore. Come ricavare una base? Facile: basta porre uno dei tre parametri $=1$ e gli altri $=0$. Ripetere per tre volte (questo procedimento ti dà sempre vettori lin. indipendenti, la dimostrazione la puoi trovare su qualsiasi libro). Otteniamo $B_U={(0,1,0,0), (0,0,1,0), (-1,0,0,1)}$ che è una base di U. Per V invece otteniamo la base $B_V={(1,0,0,0), (0,-1,1,0),(0,0,0,1)}$.
Quindi:
punto B) $T(x,y,z,-x)=(z,x,-x,y)$. Dove ti sembra definita questa applicazione? Un vettore di U, abbiamo detto prima, è della forma $(-t,y,z,t)$, o anche $(x,y,z,-x)$ (è un semplice cambio di simboli). Quindi T è definita su U. Ogni vettore $uinU$ viene trasformato in un vettore di forma $(z,x,-x,y)$ che, guarda caso, è proprio la forma dei vettori di $V$. Perciò T:$U->V$. Da adesso in poi lavoreremo su vettori di U e di V, identificati mediante terne di coordinate. Troviamo la matrice associata a T, rispetto alle basi $B_U,B_V$ di prima. Come si fa? Dobbiamo scrivere sulle colonne le coordinate (rispetto alla base $B_V$) delle immagini dei vettori di $B_U$. Calcoliamo la prima colonna:
$T((0,1,0,0))=(0,0,0,1)$ che è il terzo vettore della base $B_V$, quindi ha come terna di coordinate $(0,0,1)$. Perciò la prima colonna della matrice è $((0),(0),(1))$. Il resto penso che non ti dia problemi. E' più chiaro adesso?
Quindi U e V sono sottospazi vettoriali. Di che dimensione? Riusciamo a determinarne una base? Adesso ci torna comodo il fatto che U e V siano definiti da equazioni perché è facile calcolare una base. Infatti $U={(x,y,z,t)|x+t=0}$, quindi ogni vettore di U è di tipo $(-t,y,z,t)$, al variare di $y,z,t in RR$. Questo già ti fa capire che la dimensione di U è 3: servono infatti 3 parametri per identificare ogni suo vettore. Come ricavare una base? Facile: basta porre uno dei tre parametri $=1$ e gli altri $=0$. Ripetere per tre volte (questo procedimento ti dà sempre vettori lin. indipendenti, la dimostrazione la puoi trovare su qualsiasi libro). Otteniamo $B_U={(0,1,0,0), (0,0,1,0), (-1,0,0,1)}$ che è una base di U. Per V invece otteniamo la base $B_V={(1,0,0,0), (0,-1,1,0),(0,0,0,1)}$.
Quindi:
punto B) $T(x,y,z,-x)=(z,x,-x,y)$. Dove ti sembra definita questa applicazione? Un vettore di U, abbiamo detto prima, è della forma $(-t,y,z,t)$, o anche $(x,y,z,-x)$ (è un semplice cambio di simboli). Quindi T è definita su U. Ogni vettore $uinU$ viene trasformato in un vettore di forma $(z,x,-x,y)$ che, guarda caso, è proprio la forma dei vettori di $V$. Perciò T:$U->V$. Da adesso in poi lavoreremo su vettori di U e di V, identificati mediante terne di coordinate. Troviamo la matrice associata a T, rispetto alle basi $B_U,B_V$ di prima. Come si fa? Dobbiamo scrivere sulle colonne le coordinate (rispetto alla base $B_V$) delle immagini dei vettori di $B_U$. Calcoliamo la prima colonna:
$T((0,1,0,0))=(0,0,0,1)$ che è il terzo vettore della base $B_V$, quindi ha come terna di coordinate $(0,0,1)$. Perciò la prima colonna della matrice è $((0),(0),(1))$. Il resto penso che non ti dia problemi. E' più chiaro adesso?
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