Esercizio insiemi quozienti e classi invertibili.
Salve, ho alcuni problemi e dubbi su questo esercizio:
Sia p un numero primo:
(a) Provare che $[1+p^2]_(p^3)$ è un elemento invertibile dell'anello $(ZZ_(p^3),+,*)$
(b) Provare che l'elemento $[1+p^2]_(p^3)$ ha periodo p nell'anello $(U(ZZ_(p^3)),+,*)$ (Dove $U(ZZ_(p^3))$ è l'insieme degli elementi invertibili di $ZZ_(p^3)$).
Riguardo la richiesta (a) basta osservare che affinchè $[1+p^2]_(p^3)$ sia invertibile allora $1+p^2 e p^3$ devono essere comprimi. Gli unici divisori di $p^3$ sono $1,p,p^2,p^3$. E quindi l'unico divisore in comune è 1. (Spero che il ragionamento sia giusto).
I miei dubbi sorgono sulla seconda richiesta. Dovrei dimostrare che $[1+p^2]_(p^3)^p = [1]_(p^3)$. Giusto? Però non saprei come procedere.
Grazie!
Sia p un numero primo:
(a) Provare che $[1+p^2]_(p^3)$ è un elemento invertibile dell'anello $(ZZ_(p^3),+,*)$
(b) Provare che l'elemento $[1+p^2]_(p^3)$ ha periodo p nell'anello $(U(ZZ_(p^3)),+,*)$ (Dove $U(ZZ_(p^3))$ è l'insieme degli elementi invertibili di $ZZ_(p^3)$).
Riguardo la richiesta (a) basta osservare che affinchè $[1+p^2]_(p^3)$ sia invertibile allora $1+p^2 e p^3$ devono essere comprimi. Gli unici divisori di $p^3$ sono $1,p,p^2,p^3$. E quindi l'unico divisore in comune è 1. (Spero che il ragionamento sia giusto).
I miei dubbi sorgono sulla seconda richiesta. Dovrei dimostrare che $[1+p^2]_(p^3)^p = [1]_(p^3)$. Giusto? Però non saprei come procedere.
Grazie!
Risposte
Hai provato con la formula del binomio di Newton?
Cioè:
$(1+p^2)^p = 1 + \sum_{i=1}^(p-1) ((p),(i)) (1+p^2)^(p-i) + (p^2)^p$
però a quanto pare non mi porta da nessuna parte
$(1+p^2)^p = 1 + \sum_{i=1}^(p-1) ((p),(i)) (1+p^2)^(p-i) + (p^2)^p$
però a quanto pare non mi porta da nessuna parte
Non l'hai applicato giusto, riprova.
$(1+p^2)^p = \sum_{i=0}^(p) ((p),(i)) 1*(p^2)^i$
?
?
Giusto. Adesso basta che mostri che $p^3$ divide molti di quei termini.
"Martino":
Giusto. Adesso basta che mostri che $p^3$ divide molti di quei termini.
Se osservo $((p),(i)) * p^(2*i)$ lo posso vedere come $p^(2*i) * (p*(p-1)!)/((p-i)!*i!) = p^(3*i) * ((p-i)!)/((p-i)!*i!)$ Dato che $p^3 | p^(3*i)$ allora $p^3 divide ((p),(i)) * p^(2*i)$. Allora ogni addendo è congruo a 1 modulo $p^3$. È giusto?
E' sbagliato, $p^{2i} p$ è diverso da $p^{3i}$.
Hai il termine [tex]\binom{p}{i} p^{2i}[/tex]. L'idea è che ovviamente $p^{2i}$ è divisibile per $p^3$ se $i ge 2$, quindi rimane solo da controllare i casi $i=0$ e $i=1$.
Hai il termine [tex]\binom{p}{i} p^{2i}[/tex]. L'idea è che ovviamente $p^{2i}$ è divisibile per $p^3$ se $i ge 2$, quindi rimane solo da controllare i casi $i=0$ e $i=1$.
"Martino":
E' sbagliato, $p^{2i} p$ è diverso da $p^{3i}$.
Hai il termine [tex]\binom{p}{i} p^{2i}[/tex]. L'idea è che ovviamente $p^{2i}$ è divisibile per $p^3$ se $i ge 2$, quindi rimane solo da controllare i casi $i=0$ e $i=1$.
Giusto, errore idiota
Se i=0 ovviamente è congruo a 1. Se i=1 $p^2 * (p*(p-1)!)/((p-i)!*i!) = p^3 * ((p-1)!)/((p-i)!*i!)$ che è divisibile per $p^3$. Quindi tutti gli addendi sono congrui a 0 tranne il primo, che è congruo a 1. Giusto?
Giusto.
Se $i=1$ viene proprio $p^3$.
Se $i=1$ viene proprio $p^3$.
Grazie mille per l'aiuto! 
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