Esercizio iniettivita e suriettivita

[gamer07]

salve ragazzi ho un dubbio esistenziale

$ f : z$ appartiene $Z -> 5*z^2+4$ appartiene $N $

per me non è iniettiva in quanto ad esempio

1 appartiene a Z
-1 appartiene a Z

ma tuttavia hanno la stessa immagine cioè 9.


Mentre nelle soluzioni dice che è iniettiva in quanto presi arbitrariamente
$ z1 $ e $ z2 $ => $ 5* z1^2+4 = 5* z2^2+4 => 5* z1^2 = 5* z2^2 $ (credo elimina il 4 perchè è una costante)$ => z1^2 = z2^2$ quindi $ z1 = z2 $

Cosa sbaglio ?!? perchè 1 e -1 non dovrebbero avere la stessa immagine ?!?
Scusate se è una banalità ma ho avuto questo dubbio.


Altra domanda dove forse la risposta risolverà il mio dubbio :
$ 5*z^2+4$ appartiene $N $ siginfica che il risultato di questa espressione deve appartenere a N oppure che anche z deve appartenere a N ?!? (tralasciando il caso che qui è un quadrato e a prescindere sarà sempre positivo)...

[Gi81]

Hai ragione tu, la funzione non è iniettiva. L'esempio che hai fatto è proprio quello da fare.

La soluzione che viene data presenta un erroraccio: se $z_1,z_2 in ZZ$ non è vero che $z_1^2 = z_2^2 $ implica $z_1=z_2$.
Controesempio: $z_1= -1$ e $z_2=1$.

Per essere chiari:

La funzione \begin{equation}
\begin{split}
f : \mathbb{Z}\to&\quad \mathbb{N}\\
z\mapsto& 5z^2+4
\end{split}
\end{equation}non è iniettiva.
E' iniettiva invece la seguente funzione:\begin{equation}
\begin{split}
f : \mathbb{N}\to&\quad \mathbb{N}\\
z\mapsto& 5z^2+4
\end{split}
\end{equation}

[gamer07]

Oh, grazie mille! Bene almeno significa che ho capito

Altra domanda dove forse la risposta risolverà il mio dubbio :
5⋅z2+4 appartiene N siginfica che il risultato di questa espressione deve appartenere a N oppure che anche z deve appartenere a N ?!? (tralasciando il caso che qui è un quadrato e a prescindere sarà sempre positivo)...

[Gi81]

$5z^2+4 in NN$ significa che il risultato di questa espressione deve appartenere ad $NN$.
Non necessariamente $z in NN$.

[gamer07]

Perfetto. Grazie.

Quindi risulta anche non SURIETTIVA ?!? Giusto?!?

Perchè i numeri da 1 a 4 appartengono al codomino ma non esiste nessuna x appartenente a N(dominio) tale che F(x) = 1..4.

Formalmente
x=1.

1 appartiene a N(codominio) , non esiste nessuna x appartenente a N(dominio) tale che F(x) = 1.
Quindi non SURIETTIVA. Giusta ? Anche la "dimostrazione" ?