Esercizio induzione

[Samy211]

Ciao a tutti,

sto cercando di risolvere un esercizio relativo all'induzione matematica ma proprio non riesco Questo è il testo dell'esercizio

Verificare che la somma dei primi n numeri naturali che sono prodotti di 2 numeri pari consecutivi è uguale a $ 8 ( ( n+2 ), ( 3 ) ) $.

Vi dico come ho pensato così almeno vediamo dov'è l'errore...

La somma dei primi n numeri naturali che sono prodotti di 2 numeri pari consecutivi sarebbe $2*4 + 4 * 6 + .... + 2n(2n+2)$ che il testo dice essere uguale a $ 8 ( ( n+2 ), ( 3 ) ) $, cioè $2*4 + 4 * 6 + .... + 2n(2n+2) = 8 ( ( n+2 ), ( 3 ) ) $

Base induzione $n=1$ ottengo $2(2+2)=8((3),(3))$ che risulta verificata dato che $8=8$.
Ipotesi induttiva posto vero per ogni $u$ la relazione $2*4 + 4 * 6 + .... + 2u(2u+2) = 8 ( ( u+2 ), ( 3 ) )$ verifico che vale anche per $u+1$ e cioè che sia verificata $2*4 + 4 * 6 + .... + 2u(2u+2) + (2u+2)(2u+4) = 8 ( ( u+3 ), ( 3 ) )$

$8((u+2),(3)) + 2(u+1)(u+2) = 8 ((u+3),(3))$
$8 [(u+2)!]/[3! (u+2-3)!] + 2(u+2)! = 8 [(u+3)!]/(3!u!)$ ora dopo un passaggio mi ritrovo a questa espressione $[8(u+2)!+3(u+2)!]/[6(u-1)!]= [8(u+3)!]/(6u!)$ e ora a parte semplificare scrivendo $11(u+2)!$ come numeratore nella prima parte non so che fare, tralasciando il semplificare l'$8$ con il $6$

Grazie a chi risponderà

[Lord K]

"Samy21":[...]
Base induzione $n=1$ ottengo $2(2+2)=8((3),(3))$ che risulta verificata dato che $8=8$.
Ipotesi induttiva posto vero per ogni $u$ la relazione $2*4 + 4 * 6 + .... + 2u(2u+2) = 8 ( ( u+2 ), ( 3 ) )$ verifico che vale anche per $u+1$ e cioè che sia verificata $2*4 + 4 * 6 + .... + 2u(2u+2) + (2u+2)(2u+4) = 8 ( ( u+3 ), ( 3 ) )$

$8((u+2),(3)) + 2(u+1)(u+2) = 8 ((u+3),(3))$

L'errore che non ti porta da nessuna parte è quanto ho riportato, infatti hai che:

$2*4 + 4 * 6 + .... + 2u(2u+2) + (2u+2)(2u+4) = 8 ( ( u+3 ), ( 3 ) )$

ma dopo scrivi:

$8((u+2),(3)) + 2(u+1)(u+2) = 8 ((u+3),(3))$

quando invece è:

$8((u+2),(3)) + 4(u+1)(u+2) = 8 ((u+3),(3))$

Prova da qui!

[Samy211]

Grazie per aver risposto!

Si in effetti rivedendo è come dici te, però facendo i calcoli ottengo $[14(n+2)!]/[6(n-1)!]= [8(n+3)!]/(6n!)$ e ora onestamente non so come far comparire l' $n!$ nel denominatore della prima espressione... Mi viene in mente solo di razionalizzare ma non so se è fattibile e comunque non cambierebbe di molto...

[Gi81]

Partendo da $8((u+2),(3)) + 4(u+1)(u+2) = 8 ((u+3),(3))$
al posto di $8((u+2),(3)) $ puoi scrivere $8[(u+2)(u+1)u]/6=4/3u(u+1)(u+2)$
e $8 ((u+3),(3))$ diiventa $8[(u+3)(u+2)(u+1)]/6=4/3(u+1)(u+2)(u+3)$

Quindi l'identità da verificare diventa: $4/3u(u+1)(u+2)+4(u+1)(u+2) =4/3(u+1)(u+2)(u+3)$
A questo punto ti consiglio di moltiplicare tutto per $3/4$... I passaggi successivi non dovrebbero darti noie

[Samy211]

Grazie per aver risposto, adesso ho finalmente risolto

Alla fine ottengo $u(u+1)(u+2)+3(u+1)(u+2)=(u+1)(u+2)(u+3)$ e mettendo a fattore comune $(u+1)(u+2)$ nella prima parte ottengo $[(u+1)(u+2)](u+3)=(u+1)(u+2)(u+3)$ che posso scrivere come $(u+3)! =(u+3)!$ no?

Grazie ancora per la pazienza