Esercizio induzione
ciao a tutti ho il seguente esercizio da dimostrare mediante induzione:
"Dimostrare che per ogni n, $x-y$ divide $x^n - y^n$, assumendo $x>y$"
Il caso base è dimsotrato in maniera molto intuitiva,mentre ho dei problemi per il passo induttivo,il mio ragionamento è questo:
$x^(n+1)-y^(n+1)$ che diventa $x x^n-yy^n$, però poi non riesco a proseguire per ottenere $x^n-y^n$ più/meno/diviso/per qualcosa.
Vi ringrazio molto per la vostra attenzione
"Dimostrare che per ogni n, $x-y$ divide $x^n - y^n$, assumendo $x>y$"
Il caso base è dimsotrato in maniera molto intuitiva,mentre ho dei problemi per il passo induttivo,il mio ragionamento è questo:
$x^(n+1)-y^(n+1)$ che diventa $x x^n-yy^n$, però poi non riesco a proseguire per ottenere $x^n-y^n$ più/meno/diviso/per qualcosa.
Vi ringrazio molto per la vostra attenzione
Risposte
Basta osservare che per ogni $x,y$ in un anello commutativo vale
$(x-y)\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i-1} =\sum_{i=1}^{n}x^{n+1-i}y^{i-1}-\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i}=x^n+\sum_{i=2}^{n}x^{n+1-i}y^{i-1}-sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-y^n$
$=x^n+sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-y^n=x^n-y^n$. Spero di non dire scemenze...
Ciao!
$(x-y)\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i-1} =\sum_{i=1}^{n}x^{n+1-i}y^{i-1}-\sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i}=x^n+\sum_{i=2}^{n}x^{n+1-i}y^{i-1}-sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-y^n$
$=x^n+sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-sum_{i=1}^{n-1}x^{n-i}y^{i}-y^n=x^n-y^n$. Spero di non dire scemenze...
Ciao!
Ciao scusami ma non mi è molto chiaro quello che hai scritto,di anelli commutativi a lezione ancora ne dobbiamo parlare
dopo qualche tentativo sono arrivato questa uguaglianza
$x^{n+1}-y^{n+1}=(x^n-y^n)(x+y)+xy^n-x^{n}y=(x^n-y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})$
da cui si ha la tesi per induzione
$x^{n+1}-y^{n+1}=(x^n-y^n)(x+y)+xy^n-x^{n}y=(x^n-y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})$
da cui si ha la tesi per induzione
"matematicamenteparlando":Gli insiemi numerici \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) sono esempi di anelli commutativi, così che, se $x$ e $y$ appartengono ad essi, vale quanto detto. Non ti è chiara qualche uguaglianza? Nota che nella penultima ho semplicemente riscalato gli indici $i$ della prima sommatoria, mentre nella prima ho semplicemente applicato la proprietà distributiva.
Ciao scusami ma non mi è molto chiaro quello che hai scritto,di anelli commutativi a lezione ancora ne dobbiamo parlare
l'esercizio però richiedeva la soluzione applicando il principio di induzione
ho fatto anche la rima
ho fatto anche la rima
@raf85 gentilmente mi potresti spiegare i passaggi che hai fatto?
@DavideGenova Quindi se ho capito bene gli anelli commutativi non sarebbero altro che gli insieme dei vari numeri,giusto?
Vi ringrazio per l'attenzione e pazienza
@DavideGenova Quindi se ho capito bene gli anelli commutativi non sarebbero altro che gli insieme dei vari numeri,giusto?
Vi ringrazio per l'attenzione e pazienza
Perdonate due domande.
Primo.
Qui non occorre il Principio di Induzione forte?
Secondo.
Non basta sommare e sottrarre \(xy^{n}\)?
\[x^{n+1} - y^{n+1} = x^{n+1} - y^{n+1} + xy^{n} - xy^{n} = x^{n+1} - xy^{n} + xy^{n} - y^{n+1} = x ( x^{n} - y^{n} ) + ( x - y ) y^{n}\]
A questo punto basta usare l'ipotesi del passo induttivo per riscrivere \( (x^{n} - y^{n}) \), mettere in evidenza ed ottenre la tesi.
Primo.
"raf85":
dopo qualche tentativo sono arrivato questa uguaglianza
$x^{n+1}-y^{n+1}=(x^n-y^n)(x+y)+xy^n-x^{n}y=(x^n-y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})$
da cui si ha la tesi per induzione
Qui non occorre il Principio di Induzione forte?
Secondo.
Non basta sommare e sottrarre \(xy^{n}\)?
\[x^{n+1} - y^{n+1} = x^{n+1} - y^{n+1} + xy^{n} - xy^{n} = x^{n+1} - xy^{n} + xy^{n} - y^{n+1} = x ( x^{n} - y^{n} ) + ( x - y ) y^{n}\]
A questo punto basta usare l'ipotesi del passo induttivo per riscrivere \( (x^{n} - y^{n}) \), mettere in evidenza ed ottenre la tesi.
"G.D.":
Qui non occorre il Principio di Induzione forte?
sì,ma dato che si sa che la tesi è vera per x-y e x^2-y^2,mi sono permesso di usarlo
"G.D.":
Non basta sommare e sottrarre xyn?
sì ; e che te devo dì : mi è sfuggito
"matematicamenteparlando":
@DavideGenova Quindi se ho capito bene gli anelli commutativi non sarebbero altro che gli insieme dei vari numeri,giusto?
Mi sa che Davide ti ha confuso, no, quello che dici non ha senso o perlomeno è esposto male. Quando li affronterai a lezione capirai.
comunque un anello, in matematica, è per così dire la generalizzazione del concetto di "insieme su cui ci appioppo due operazioni che godono certe proprietà, detto molto alla buona buona. Detto un po' meglio, è una struttura algebrica . Come è fatta e che importanza ha nella matematica, lo comprenderai poco a poco più avanti.
"matematicamenteparlando":No: quelli che ho citato sono anelli con la somma e il prodotto che sei abituato a pensare, ma esistono anelli che non sono insiemi numerici, anelli non commutativi come l'anello delle matrici \(n\times n\), per fare un esempio pratico. D'altra parte un insieme numerico come $\mathbb{N}$ non è un anello perché non esiste l'opposto dei numeri positivi. Come ti ha fatto notare Kashaman, aspetta e vedrai...
Quindi se ho capito bene gli anelli commutativi non sarebbero altro che gli insieme dei vari numeri,giusto?
@G.D Scusa cosa intendi per "A questo punto basta usare l'ipotesi del passo induttivo"? cioè una volta ottenuto quello cosa devo fare?
Inoltre in cosa consiste l'induzione forte?
Scusate se vi faccio tutte queste domande solo che a lezione sono mancato spesso e il libro e scritto malissimo.
@Kashaman ,DavideGenova Ho più o meno capito ma per adesso non ci penso più di tanto finché insomma non verrà spiegato a lezione,grazie comunque
Vi ringrazio ancora
Inoltre in cosa consiste l'induzione forte?
Scusate se vi faccio tutte queste domande solo che a lezione sono mancato spesso e il libro e scritto malissimo.
@Kashaman ,DavideGenova Ho più o meno capito ma per adesso non ci penso più di tanto finché insomma non verrà spiegato a lezione,grazie comunque
Vi ringrazio ancora
"matematicamenteparlando":
@G.D Scusa cosa intendi per "A questo punto basta usare l'ipotesi del passo induttivo"?
significa che devi sfruttare il fatto che per ipotesi $x^n-y^n$ è divisibile per $x-y$
l'induzione forte è quella che usa un'ipotesi apparentemente più forte, che sarebbe la seguente
$AA m:0P(n) $ vera
ma di fatto è equivalente all'induzione debole.
E il libro direi che per capire queste cose è l'arma migliore... l'induzione è spiegata credo in ogni singolo testo di algebra e anche analisi del primo anno per cui se non ti piace come lo affronta un libro, puoi trovarne altri.
$AA m:0
ma di fatto è equivalente all'induzione debole.
E il libro direi che per capire queste cose è l'arma migliore... l'induzione è spiegata credo in ogni singolo testo di algebra e anche analisi del primo anno per cui se non ti piace come lo affronta un libro, puoi trovarne altri.
Scusami @raf85 mi potresti far vedere a livello pratico cosa significa (scusa ma sono all'inizio e sto impazzendo con questa induzione)
@WKerber Scusami ma il procedimento dell'induzione forte è uguale a quello dell'induzione "normale"?
Vi ringrazio ancora per la vostra disponibilità
@WKerber Scusami ma il procedimento dell'induzione forte è uguale a quello dell'induzione "normale"?
Vi ringrazio ancora per la vostra disponibilità
essendo per ipotesi $x^n-y^n$ divisibile per $x-y$ si ha
$x^n-y^n=(x-y)q(x,y)$,dove q(x,y) è un polinomio di cui non ci interessa l'espressione
quindi,riprendendo il ragionamento di G.D.,si ha
$x^(n+1)-y^(n+1)=xq(x,y)(x-y)+(x-y)y^n=(x-y)(xq(x,y) +y^n)$
cioè $x^(n+1)-y^(n+1)$ è divisibile per $x-y$
$x^n-y^n=(x-y)q(x,y)$,dove q(x,y) è un polinomio di cui non ci interessa l'espressione
quindi,riprendendo il ragionamento di G.D.,si ha
$x^(n+1)-y^(n+1)=xq(x,y)(x-y)+(x-y)y^n=(x-y)(xq(x,y) +y^n)$
cioè $x^(n+1)-y^(n+1)$ è divisibile per $x-y$
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