Esercizio Ideali Z[x]
Ciao a tutti!
avrei bisogno di una guida nel risolvere questo esercizio. Non mi sento molto sicuro in alcune parti e in altre non ho idee..
"Sia A=Z[x] si provi che:
1)L'ideale I generato da $P(x)=-3+x^2$ non è massimale.
2)Si trovi in A,se esiste, un ideale massimale contente I.
3)l'anello quoziente A/I è isomoformo al sottoanello Z[sqrt(3)] di $R$
4)in A/I la classe [3] non è invertibile.
Comincio con i primi due:
Affermo che I non è massimale perchè $(-3+x^2)Z[x] sub (-3+x^2 ,x)Z[x]$.
Infatti tutti i multipli di $-3+x^2$ si trovano ponendo $(-3+x^2)P(x) + x*O$, mentre nel secondo posso ottenere polinomi di primo grado che non possono esserci nel primo ideale.(motivi di grado)
Ora devo vedere che il secondo ideale non è tutto $Z[x]$: se fosse tutto $Z[x]$ dovrebbe contenere $l'1$ ma non esistono due polinomi in $Z[x]$ tale che $(-3+x^2)P(x) + x*Q(x) = 1$ Concludo che non è tutto Z[x],quindi $I$ non è massimale sicuramente.
Il nuovo ideale con l'aggiunta del generatore $x$ è massimale(punto due)? La mia idea è di aggiungere un possibile generatore e vedere se ottengo tutto Z[X] in caso affermativo è massimale, in caso negativo non è massimale. Ma non riesco a procedere
avrei bisogno di una guida nel risolvere questo esercizio. Non mi sento molto sicuro in alcune parti e in altre non ho idee..
"Sia A=Z[x] si provi che:
1)L'ideale I generato da $P(x)=-3+x^2$ non è massimale.
2)Si trovi in A,se esiste, un ideale massimale contente I.
3)l'anello quoziente A/I è isomoformo al sottoanello Z[sqrt(3)] di $R$
4)in A/I la classe [3] non è invertibile.
Comincio con i primi due:
Affermo che I non è massimale perchè $(-3+x^2)Z[x] sub (-3+x^2 ,x)Z[x]$.
Infatti tutti i multipli di $-3+x^2$ si trovano ponendo $(-3+x^2)P(x) + x*O$, mentre nel secondo posso ottenere polinomi di primo grado che non possono esserci nel primo ideale.(motivi di grado)
Ora devo vedere che il secondo ideale non è tutto $Z[x]$: se fosse tutto $Z[x]$ dovrebbe contenere $l'1$ ma non esistono due polinomi in $Z[x]$ tale che $(-3+x^2)P(x) + x*Q(x) = 1$ Concludo che non è tutto Z[x],quindi $I$ non è massimale sicuramente.
Il nuovo ideale con l'aggiunta del generatore $x$ è massimale(punto due)? La mia idea è di aggiungere un possibile generatore e vedere se ottengo tutto Z[X] in caso affermativo è massimale, in caso negativo non è massimale. Ma non riesco a procedere
Risposte
Prova a vedere se facendo il quoziente generi un campo 
Sinceramente faccio fatica a "vedere" i rappresentati delle classi.. Per definizione $(Z[x])/(-3+x^2,x)$ è l'insieme della classi di equivalenza dove $P(x) eq Q(x)$ se $P(x)- Q(x)$ appartiene all'ideale. E' da dicembre che non tocco più questi argomenti e ora complice la mia pessima scrittura non mi ritrovo sugli appunti :-S
Secondo me è $ZZ_3$, infatti generi tutti i polinomi con termine noto divisibile per 3
Avresti voglia di scrivere il perchè? ossia il procedimento per cui tu arrivi ad affermare che è $ZZ_3$? vorrei capire come si ragiona su questo tipo di esercizi.
Il tuo ideale è questo:
$ZZ[3,x]$
Se non ti fidi, e lo so che non ti fidi, prova dimostrarlo, è abbastanza facile.
Ma quali sono i polinomi del nostro ideale? Saranno tutti e soli i polinomi tali che il termine noto è uguale a 3, in particolare possiamo ottenerli in questo modo:
$x*p(x) + 3*ZZ$
Allora
$(ZZ(x))/(ZZ[3,x])= {p(x) + ZZ[3,x]|p(x) in ZZ(x)}={ x*q(x) + n +ZZ[3,x]| q(x) in ZZ(x), n in ZZ}=$
$={ x*q(x) + 3k+a +ZZ[3,x]| q(x) in ZZ(x), k in ZZ, a in ZZ_3}={a in ZZ_3}=ZZ_3$
$ZZ[3,x]$
Se non ti fidi, e lo so che non ti fidi, prova dimostrarlo, è abbastanza facile.
Ma quali sono i polinomi del nostro ideale? Saranno tutti e soli i polinomi tali che il termine noto è uguale a 3, in particolare possiamo ottenerli in questo modo:
$x*p(x) + 3*ZZ$
Allora
$(ZZ(x))/(ZZ[3,x])= {p(x) + ZZ[3,x]|p(x) in ZZ(x)}={ x*q(x) + n +ZZ[3,x]| q(x) in ZZ(x), n in ZZ}=$
$={ x*q(x) + 3k+a +ZZ[3,x]| q(x) in ZZ(x), k in ZZ, a in ZZ_3}={a in ZZ_3}=ZZ_3$
Penso di averlo dimostrato: Ogni elemento di $(-3+x^2,x)$ si puo scrivere come $(-3+x^2)(a_0 +a_1x+a_2x^2..) + x(b_0+b_1x+b_2x^2..)$ che a sua volta si può riscrivere come $3(-a_0) +x((-3a_1+b_0)+(-3a_2+a_0+b_1)x+..)$ quindi $(-3+x^2,x) sub (3,x)$.
Ho dimostrato l'altra inclusione in maniera simile. Moltiplicando e poi raccogliendo.
Passo alla terza e quarta domanda: ogni elemento del quoziente di $Z[x]/I$ è, secondo me, della forma $ax+b$. Infatti qualunque polinomio in $Z[x]$ lo posso dividere per $(-3+x^2)$ (questa operazione mi è concessa perchè il divisore è monico) e ottengo come resto polinomi di primo grado.
Quindi so rispondere alla quarta domanda: $[3]$ non è invertibile perchè $[3]*[ax+b]=1$ per $b=1/3$ che non è intero quindi non è invertibile.
Per la terza domanda brancolo ancora nel buio..
Ho dimostrato l'altra inclusione in maniera simile. Moltiplicando e poi raccogliendo.
Passo alla terza e quarta domanda: ogni elemento del quoziente di $Z[x]/I$ è, secondo me, della forma $ax+b$. Infatti qualunque polinomio in $Z[x]$ lo posso dividere per $(-3+x^2)$ (questa operazione mi è concessa perchè il divisore è monico) e ottengo come resto polinomi di primo grado.
Quindi so rispondere alla quarta domanda: $[3]$ non è invertibile perchè $[3]*[ax+b]=1$ per $b=1/3$ che non è intero quindi non è invertibile.
Per la terza domanda brancolo ancora nel buio..
Riesci a trovare una funzione che abbia per ker , l'ideale $(x^2-3)$, e per immagine $ZZ[sqrt(3)]$?
NO :/
$ZZ[x]->ZZ[sqrt(3)]$
Così lo vedi meglio, cos'è cambiato?
Così lo vedi meglio, cos'è cambiato?
Gli elementi di Z[x] sono $a_0+a_1x+a_2x^2..$ mentre quelli di Z[$sqrt(3)$] sono $a_0sqrt(3)+a_1(3)+a_2(3)^(3/2)..$
Però non capisco. Io devo trovare un isomorfismo $A/I$ i cui elementi sono della forma $ax+b$ in $Z[sqrt(3)]$..
Però non capisco. Io devo trovare un isomorfismo $A/I$ i cui elementi sono della forma $ax+b$ in $Z[sqrt(3)]$..
La x è diventata cosa?
è diventata la $sqrt(3)$ che è anche la soluzione di $x^2-3$ suppongo centri qualcosaXD.. come posso definire una funzione $f:A/I -> Z[sqrt3]$ tale che $f(ax+b)$ sia uguale ad una combinazione di potenze di $sqrt(3$?
Più semplicemente, cosa succede se calcoli i polinomi in radice di 3?
Forse ho trovato.. ogni polinomio di $Z[sqrt(3)]$ si può scrivere nella forma $a+bsqrt(3)$
Quindi definisco una funzione $f:A/I -> Z[sqrt(3)]$ tale che $f(a+bx) = a+b(sqrt3)$
Questa è suriettiva perchè ogni polinomio di $Z[sqrt(3)]$ si può scrivere così, ed è iniettiva perchè $a_1+b_1(sqrt(3)) = a_2+b_2(sqrt(3))$ implica che $a_1 +b_1x=a_2+b_2x$
Facendo i calcoli si vede che è un omomorfismo, e il nucleo è formato da quei polinomi tali per cui $a+bsqrt(3)=0$,essendo $a,b in ZZ$ $a,b=0$ quindi il nucleo è classe $[0]$ quindi i multipli di $(x^2-3)$.. giusto ?
Quindi definisco una funzione $f:A/I -> Z[sqrt(3)]$ tale che $f(a+bx) = a+b(sqrt3)$
Questa è suriettiva perchè ogni polinomio di $Z[sqrt(3)]$ si può scrivere così, ed è iniettiva perchè $a_1+b_1(sqrt(3)) = a_2+b_2(sqrt(3))$ implica che $a_1 +b_1x=a_2+b_2x$
Facendo i calcoli si vede che è un omomorfismo, e il nucleo è formato da quei polinomi tali per cui $a+bsqrt(3)=0$,essendo $a,b in ZZ$ $a,b=0$ quindi il nucleo è classe $[0]$ quindi i multipli di $(x^2-3)$.. giusto ?
Giusto, puoi anche dire direttamente che calcoli il polinomio in sqrt(3) e ottieni la stessa cosa
Ok, un ultima domanda per vedere se ho capito bene un passaggio che hai fatto nella pagina precedente: se dovessi calcolare il quoziente $(Z[x])/(2-x,2)$ posso procedere così: ${p(x)+(2-x,2)Z[x]}={q(x)(2-x)+n+(2-x,2)Z[x], q(x) in Z[x],n in ZZ}$
$={q(x)(2-x)+2k+r+(2-x,2)Z[X],k in ZZ,r in ZZ_2}={r,r in ZZ_2}=ZZ_2$ giusto
?
$={q(x)(2-x)+2k+r+(2-x,2)Z[X],k in ZZ,r in ZZ_2}={r,r in ZZ_2}=ZZ_2$ giusto
?
Esatto! Perfetto!
Ok grazie Mille 
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