Esercizio ideali principali
Ciao, ho un problema con un esercizio sugli ideali principali. Vi riposrto il testo.
$ ZZ [ i]= {a + bi in CC : a,b in ZZ } $
$ I={ a+bi : a , b sono pari } $ è un ideale di $ ZZ [ i] $
Si dimostri che I è un ideale principale.
Io ho dimostrato che è un ideale, ma non saprei come fare per dire che è principale, ciò è dovuto anche al fatto che non mi è affatto chiara la definizione di ideale principale.
Grazie!!
Lara
$ ZZ [ i]= {a + bi in CC : a,b in ZZ } $
$ I={ a+bi : a , b sono pari } $ è un ideale di $ ZZ [ i] $
Si dimostri che I è un ideale principale.
Io ho dimostrato che è un ideale, ma non saprei come fare per dire che è principale, ciò è dovuto anche al fatto che non mi è affatto chiara la definizione di ideale principale.
Grazie!!
Lara
Risposte
L'ideale è principale se è generato da un solo elemento! Cioè l'insieme $I=(a)={ax|x in A}$.
Ora se pensi che un qualsiasi numero pari si scrive come $2n$, credo che non sia difficile concludere.
Ora se pensi che un qualsiasi numero pari si scrive come $2n$, credo che non sia difficile concludere.
Scusate l'intrusione ma essendo $ZZ$ l'anello degli interi di Gauss che è un anello principale, non è automatico che ogni suo ideale è generato da un solo elemento!?
"Lorin":
Scusate l'intrusione ma essendo $ZZ$ l'anello degli interi di Gauss che è un anello principale, non è automatico che ogni suo ideale è generato da un solo elemento!?
Sìsì ovviamente. Magari però voleva toccare con mano un generatore di quell'ideale
Ah ok ok...pensavo di non ricordare bene..grazie!
scusate il ritardo
Quindi una possibile soluzione potrebbe essere questa?
considero $ a= 2a' $ e $ b= 2b' $ con $ a',b' in ZZ $
a+ib diventa 2a' + 2b' = 2(a'+ib') $ in 2ZZ[ i] $
quindi I $ sube 2ZZ[ i] $
se $ x in 2ZZ[ i] $ allora x=2(x'+iy')= 2x' + 2iy' $ in $ I
ed è sufficiente per concludere che I è un ideale principale.
puù andare?
Quindi una possibile soluzione potrebbe essere questa?
considero $ a= 2a' $ e $ b= 2b' $ con $ a',b' in ZZ $
a+ib diventa 2a' + 2b' = 2(a'+ib') $ in 2ZZ[ i] $
quindi I $ sube 2ZZ[ i] $
se $ x in 2ZZ[ i] $ allora x=2(x'+iy')= 2x' + 2iy' $ in $ I
ed è sufficiente per concludere che I è un ideale principale.
puù andare?
Secondo me non è ancora scritto bene (potrei sbagliarmi eh!).
Con la doppia inclusione occorre far vedere che $2ZZ=( (2+2i) )$
Allora prendi un elemento di $((2+2i))$ e facciamo vedere che $a,b$ sono pari. $(2+2i)(a+ib)=(2a+2bi+2ia-2b)=(2(a-b)+2(a+b)i) \in 2ZZ$. Una inclusione allora è vera.
Adesso preso un generico elemento di $2ZZ$ devi far vedere che si può scrivere nella forma $(2+2i)(a+ib)$ con $(a+ib)$ opportuno.
Anche qui si tratta di fare un calcolo per mostrarlo. Fissato in fatti $2a+2ib$ si ha $(2+2i)(a'+ib')=(2a'+2ib'+2a'i-2b')=2(a'-b')+2(a'+b')i$ per cui, posto $a'-b'=a$ e $a'+b'=b$ si ha l'altra inclusione.
Con la doppia inclusione occorre far vedere che $2ZZ=( (2+2i) )$
Allora prendi un elemento di $((2+2i))$ e facciamo vedere che $a,b$ sono pari. $(2+2i)(a+ib)=(2a+2bi+2ia-2b)=(2(a-b)+2(a+b)i) \in 2ZZ$. Una inclusione allora è vera.
Adesso preso un generico elemento di $2ZZ$ devi far vedere che si può scrivere nella forma $(2+2i)(a+ib)$ con $(a+ib)$ opportuno.
Anche qui si tratta di fare un calcolo per mostrarlo. Fissato in fatti $2a+2ib$ si ha $(2+2i)(a'+ib')=(2a'+2ib'+2a'i-2b')=2(a'-b')+2(a'+b')i$ per cui, posto $a'-b'=a$ e $a'+b'=b$ si ha l'altra inclusione.
Grazie mille!
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