Esercizio ideali ed anelli commutativi
Sia $I$ un ideale proprio di un anello $R$ commutativo.
Si dimostri che $I$ è un ideale massimale se e solo se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $x \in R$ con $1-ax \in I$.
Devo mostrare le seguenti due cose:
- Se $I$ è massimale allora $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$;
- Se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$ allora $I$ è massimale;
Adesso, usando la definizione di ideale mi ricordo che dati due elementi all'interno dell'ideale la loro differenza deve appartenere all'ideale. Quindi se $1$ e $ax$ appartengono ad $I$ allora anche $1 - ax \in I$. Ma non è questo il caso perché $I$ è un ideale proprio e quindi non contiene l'unità.
Quindi è anche vero che se $1-ax \in I$ non è detto che $1 \in I$.
Quindi non riesco a capire come procedere per dimostrare le cose...
Provo a fare il primo caso.
- Se $I$ è massimale allora so che $I \neq R$ e $\forall J \in Id(R)$ tale che $I \subseteq J \subseteq R$ segue $J = R$ o $J = I$.
Se $J = R$, devo mostrare che $\forall a \in J\I$, esiste $ x \in R$ tale che $1-ax \in I$.
... Non riesco a procedere... MI date una dritta grazie
Si dimostri che $I$ è un ideale massimale se e solo se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $x \in R$ con $1-ax \in I$.
Devo mostrare le seguenti due cose:
- Se $I$ è massimale allora $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$;
- Se $\forall a \in R\setminus I$ esiste $ x \in R$ con $1-ax \in I$ allora $I$ è massimale;
Adesso, usando la definizione di ideale mi ricordo che dati due elementi all'interno dell'ideale la loro differenza deve appartenere all'ideale. Quindi se $1$ e $ax$ appartengono ad $I$ allora anche $1 - ax \in I$. Ma non è questo il caso perché $I$ è un ideale proprio e quindi non contiene l'unità.
Quindi è anche vero che se $1-ax \in I$ non è detto che $1 \in I$.
Quindi non riesco a capire come procedere per dimostrare le cose...
Provo a fare il primo caso.
- Se $I$ è massimale allora so che $I \neq R$ e $\forall J \in Id(R)$ tale che $I \subseteq J \subseteq R$ segue $J = R$ o $J = I$.
Se $J = R$, devo mostrare che $\forall a \in J\I$, esiste $ x \in R$ tale che $1-ax \in I$.
... Non riesco a procedere... MI date una dritta grazie
Risposte
Ciao, per il primo punto ti consiglio di mostrare che $I+aR$ è un ideale di $R$ che contiene $I$. Il secondo punto è più facile, basta mostrare che $I$ è massimale usando la definizione di ideale massimale.
"Martino":
Ciao, per il primo punto ti consiglio di mostrare che $I+aR$ è un ideale di $R$ che contiene $I$. Il secondo punto è più facile, basta mostrare che $I$ è massimale usando la definizione di ideale massimale.
Buongiorno. Ancora per quanto riguarda il primo punto.
Prendendo spunto da ciò che hai scritto: ipotizzando $I$ massimale e considerando $a \in R \setminus I$ possiamo osservare che $I \subseteq I + (a) \subseteq R$ ma visto che $a$ non appartiene ad $I$ si ha che $I \subset I + (a)$ ed essendo $I$ massimale segue che $I + (a) = R$.
Ma adesso come faccio a mostrare che $1 - ax \in I$ per qualche x in $R$?
Forse perché se $1 - ax$ non appartenesse $ I$ allora $1-ax \in (a)$ e questo è assurdo perché $(a) = { ax | x \in R }$.
Però non so se è giusta questa osservazione
Cioè il fatto che $1-ax \in (a)$ per ogni $x \in R$ e $a \in R \setminus I$ equivarrebbe a richiedere che ogni elemento che non appartiene ad $I$ sia invertibile.
Ma non ci troviamo in un campo. ... Commenti ?
Ma non ci troviamo in un campo. ... Commenti ?
L'unico commento è che I è massimale se e solo se R/I è un campo. Con la qual cosa anche la domanda iniziale si risolve immediatamente.
"Desirio":Fin qui ok. Adesso $1 in R = I+(a)$ e gli elementi di $I+(a)$ sono del tipo $i+ax$ con $i in I$ e $x in R$.
segue che $I + (a) = R$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo