Esercizio - Gruppo simmetrico $S_n$
Esercizio: Si verifichi se in [tex]$S_6$[/tex] esiste una permutazione [tex]$\mu$[/tex] tale che [tex]$\mu ( 1 2 3 4 5 6 ) \mu^{-1} = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 )$[/tex]
Idee non me ne vengono. Qualche consiglio?
Idee non me ne vengono. Qualche consiglio?
Risposte
Beh, la struttura ciclica è preservata dal coniugio, no?
Vale anche di più: due permutazioni sono coniugate se e solo se...
Vale anche di più: due permutazioni sono coniugate se e solo se...
"maurer":
Beh, la struttura ciclica è preservata dal coniugio, no?
Vale anche di più: due permutazioni sono coniugate se e solo se...
Il punto è che io dell'azione di coniugio non so niente, non essendo trattata dal mio testo e non avendola trattata a lezione. C'è un altro modo di vedere l'esercizio?
Grazie.
Basta fare un conto: chiama [tex]s=(123456)[/tex], e considera [tex]\sigma = \mu s \mu^{-1}[/tex]. Si ha:
[tex]\sigma(\mu(1)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(1)) = \mu(s(1)) = \mu(2)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(2)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(2)) = \mu(s(2)) = \mu(3)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(3)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(3)) = \mu(s(3)) = \mu(4)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(4)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(4)) = \mu(s(4)) = \mu(5)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(5)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(5)) = \mu(s(5)) = \mu(6)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(6)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(6)) = \mu(s(6)) = \mu(1)[/tex].
Quindi anche [tex]\mu s \mu^{-1}[/tex] e' un 6-ciclo
per la precisione, e' il 6-ciclo [tex](\mu(1)\ \mu(2)\ \mu(3)\ \mu(4)\ \mu(5)\ \mu(6))[/tex].
[tex]\sigma(\mu(1)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(1)) = \mu(s(1)) = \mu(2)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(2)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(2)) = \mu(s(2)) = \mu(3)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(3)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(3)) = \mu(s(3)) = \mu(4)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(4)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(4)) = \mu(s(4)) = \mu(5)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(5)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(5)) = \mu(s(5)) = \mu(6)[/tex],
[tex]\sigma(\mu(6)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(6)) = \mu(s(6)) = \mu(1)[/tex].
Quindi anche [tex]\mu s \mu^{-1}[/tex] e' un 6-ciclo
per la precisione, e' il 6-ciclo [tex](\mu(1)\ \mu(2)\ \mu(3)\ \mu(4)\ \mu(5)\ \mu(6))[/tex].
Chiarissimo. Grazie Martino.
Uhm... comunque saperlo non fa mai male.
Il procedimento descritto da Martino può essere svolto in tutta generalità. Ottieni che se [tex](a_1, \ldots, a_k)[/tex] è un k-ciclo allora [tex]\mu (a_1, \ldots, a_k) \mu^{-1} = (\mu(a_1), \ldots, \mu(a_k))[/tex] e quindi i cicli vengono mandati in cicli (ed hai un modo molto semplice di calcolare l'immagine).
D'altra parte il coniugio è un automorfismo e quindi se [tex]\sigma[/tex] e [tex]\tau[/tex] sono due cicli [tex]\mu \sigma \tau \mu^{-1} = \mu \sigma \mu^{-1} \mu \tau \mu^{-1}[/tex].
Quindi data una permutazione qualsiasi, è molto facile calcolare l'immagine tramite l'operazione di coniugio.
Il procedimento descritto da Martino può essere svolto in tutta generalità. Ottieni che se [tex](a_1, \ldots, a_k)[/tex] è un k-ciclo allora [tex]\mu (a_1, \ldots, a_k) \mu^{-1} = (\mu(a_1), \ldots, \mu(a_k))[/tex] e quindi i cicli vengono mandati in cicli (ed hai un modo molto semplice di calcolare l'immagine).
D'altra parte il coniugio è un automorfismo e quindi se [tex]\sigma[/tex] e [tex]\tau[/tex] sono due cicli [tex]\mu \sigma \tau \mu^{-1} = \mu \sigma \mu^{-1} \mu \tau \mu^{-1}[/tex].
Quindi data una permutazione qualsiasi, è molto facile calcolare l'immagine tramite l'operazione di coniugio.
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