Esercizio gruppo simmetrico ed elementi periodici
Buongiorno, ho alcuni dubbi sui gruppi simmetrici (o gruppi di permutazioni) e spero di schiarire le idee con questo esercizio.
Nel gruppo simmetrico su 11 oggetti:
a) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 14;
b) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 13;
c) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 10;
Per la a) e la b) credo basti dire che non esistono sottogruppi di ordine 14 e 13 perchè 14 e 13 non dividono 11! (Teorema di Lagrange).
Per la c) so che può esiste un sottogruppo con 10 elementi. Ora dovrei trovare una permutazione $f$ tale che $f^10 = id$. Però come posso trovare questo elemento? Esiste un metodo generale?
Nel gruppo simmetrico su 11 oggetti:
a) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 14;
b) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 13;
c) Stabilire, se è possibile, un elemento di periodo 10;
Per la a) e la b) credo basti dire che non esistono sottogruppi di ordine 14 e 13 perchè 14 e 13 non dividono 11! (Teorema di Lagrange).
Per la c) so che può esiste un sottogruppo con 10 elementi. Ora dovrei trovare una permutazione $f$ tale che $f^10 = id$. Però come posso trovare questo elemento? Esiste un metodo generale?
Risposte
\(14 = 2 \times 7\) divide \(11!\,\); ovviamente la cosa è falsa per \(13\). Siccome \(2+7=9 < 11\) allora esiste un elemento di ordine \(14\) in \(S_{11}\).
Nota che il tuo principio è sbagliato. Non devi determinare se esistono sottogruppi, ma se esistono sottogruppi ciclici. E nota che in generale il teorema di Lagrange non è invertibile, quindi il fatto che un numero divida \(\displaystyle 11! \) non significa che esista un sottogruppo di quell'ordine.
Nota che il tuo principio è sbagliato. Non devi determinare se esistono sottogruppi, ma se esistono sottogruppi ciclici. E nota che in generale il teorema di Lagrange non è invertibile, quindi il fatto che un numero divida \(\displaystyle 11! \) non significa che esista un sottogruppo di quell'ordine.
"vict85":
\(14 = 2 \times 7\) divide \(11!\,\); ovviamente la cosa è falsa per \(13\). Siccome \(2+7=9 < 11\) allora esiste un elemento di ordine \(14\) in \(S_{11}\).
Non mi è chiaro il perchè $2+7=9<11$ è una condizione sufficiente per affermare l'esistenza di un elemento di ordine 14.
Nota che il tuo principio è sbagliato. Non devi determinare se esistono sottogruppi, ma se esistono sottogruppi ciclici. E nota che in generale il teorema di Lagrange non è invertibile, quindi il fatto che un numero divida \(\displaystyle 11! \) non significa che esista un sottogruppo di quell'ordine.
Questo lo sapevo, ma il mio dubbio è proprio lì. Come posso essere sicuro della esistenza (o della non esistenza) di un sottogruppo ciclico di ordine 10?
Gli elementi di $S_{11}$ possiedono una struttura ciclica, e l'ordine di un elemento è determinato univocamente dalla sua struttura ciclica. Quindi per esempio \(\sigma = (1\,2\,3\,4\,5\,6\,7)(8\,9)\) ha ordine 14, come anche \(\tau = (1\,2)(3\,4\,5\,6\,7\,8\,9)(10\,11)\) e ogni elemento coniugato con loro.
Quindi per \(S_n\) la condizione è che \(m = p^{s_1}\dotsm p^{s_k}\) sia un divisore di \(\displaystyle n! \) e che \(p^{s_1}+ \dotsb +p^{s_k} \le n\). È fondamentale che tu comprenda il perché però. Quindi ragiona sugli elementi di \(S_n\) e sulla formula che ne determina l'ordine.
Quindi per \(S_n\) la condizione è che \(m = p^{s_1}\dotsm p^{s_k}\) sia un divisore di \(\displaystyle n! \) e che \(p^{s_1}+ \dotsb +p^{s_k} \le n\). È fondamentale che tu comprenda il perché però. Quindi ragiona sugli elementi di \(S_n\) e sulla formula che ne determina l'ordine.
Scusami, ma mi son perso. Quale sarebbe la formula che determina l'ordine di $S_n$?
L'ordine degli elementi, non di \(S_n\). Mi stupisce che tu non l'abbia vista.
Come calcoleresti l'ordine di \(\displaystyle\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 7 & 1 & 2\end{pmatrix}\)?
Come calcoleresti l'ordine di \(\displaystyle\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 7 & 1 & 2\end{pmatrix}\)?
"vict85":
L'ordine degli elementi, non di \(S_n\). Mi stupisce che tu non l'abbia vista.
Come calcoleresti l'ordine di \(\displaystyle\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 7 & 1 & 2\end{pmatrix}\)?
Ma l'ordine del sottogruppo generato da $sigma$? Se ho ben capito è uguale al minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti. Quindi $sigma = (16)(257)(34)$ quindi $m.c.m(2,3) = 6$. È giusto?
L'ordine dell'elemento è l'ordine del sottogruppo ciclico generato, ma in genere è definito indipendentemente. La formula è corretta. Ti è chiaro perché funziona?
"vict85":
L'ordine dell'elemento è l'ordine del sottogruppo ciclico generato, ma in genere è definito indipendentemente. La formula è corretta. Ti è chiaro perché funziona?
Quindi riprendendo l'esercizio che ho proposto, dato che $10=5*2$ divide $11!$ e che $5+2<11$, posso considerare un elemento in $S_11$ di ordine $10$? Ed è del tipo $sigma=(13457)(68)$?
Si, va bene.
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