Esercizio: gruppo simmetrico e sottogruppi

[Whispers]

Salve!

Se possibile cerco aiuto (di nuovo!) per il seguente esercizio.

Esercizio:

Mostrare se il gruppo $S_7$ delle permutazioni su ${1,2,3,4,5,6,7}$ ammette sottogruppi di ordine 12 ed eventualmente darne un esempio.

[maurer]

Come si calcola il periodo delle permutazioni? (A scanso di equivoci, è una domanda per farti riflettere, io lo so benissimo! )

[dave lizewski]

"Whispers":Salve!
Se possibile cerco aiuto (di nuovo!) per il seguente esercizio.
Esercizio:
Mostrare se il gruppo $S_7$ delle permutazioni su ${1,2,3,4,5,6,7}$ ammette sottogruppi di ordine 12 ed eventualmente darne un esempio.

Io ci provo, scusandomi in anticipo se la risposta sarà insufficiente...
Se il gruppo ammette un sottogruppo di ordine 12 allora, per il teorema di Lagrange sui gruppi finiti, 12 deve dividere l'ordine del gruppo che è $7! = 5040$. E infatti 12 è un divisore di 5040.
Adesso si tratta di trovare questo sottogruppo di ordine 12.
Verifico che il gruppo generato dal ciclo $(1,2,3,4)$ ha ordine 4 in $S_7$ (e in qualunque altro gruppo simmetrico).
Verifico che il gruppo generato dal ciclo $(5,6,7)$ ha ordine 3 in $S_7$ (e in qualunque altro gruppo simmetrico).
Questi due cicli sono disgiunti allora il gruppo generato da $<(1,2,3,4),(5,6,7)>$ ha ordine 12 in $S_7$.

Sicuramente ci deve essere un modo migliore di dimostrarlo, immagino che arriverà con i prossimi post...
ciao

[maurer]

A questo punto dico la mia. Qual è il periodo di [tex](1,2,3,4)(5,6,7)[/tex]? 12. Quindi [tex]\langle (1,2,3,4)(5,6,7) \rangle[/tex] ha ordine 12.

[Whispers]

Innanzitutto grazie per le risposte repentine!

Una piccola delucidazione, 12 è l'ordine più grande che un sottogruppo di $S_7$ possa avere? E soprattutto a livello di completezza dell'esercizio, non c'è bisogno di scrivere una permutazione del tipo $((1,2,3,4),(a,b,c,d))$,$((5,6,7),(e,f,g))$?

[maurer]

Sia io sia dave lizewski abbiamo utilizzato la notazione compatta per le permutazioni, ossia la rappresentazione dei cicli. Ad esempio [tex](1,2,3,4)(5,6,7)[/tex] corrisponde a $(( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 1, 6, 7, 5)) $.
12 è il periodo maggiore che possono avere le permutazioni in [tex]\mathcal S_7[/tex]. Ma ci sono sottogruppi di ordine maggiore. Senza scervellarci troppo possiamo invocare direttamente Sylow per concludere che ci sono sottogruppi di ordine 16.

[Whispers]

Perfetto! Era solo una curiosità a questo punto visto che i teoremi di Sylow non li abbiamo fatti.

Grazie mille!

[maurer]

Non serve Sylow... era solo per non faticare troppo (sono assai pigro). In effetti la cosa più semplice era osservare che il sottogruppo alterno ha ordine [tex]\frac{7!}{2} = 2520[/tex]...

[ferrets]

Scusate se mi intrometto, ma leggendo mi è sorto un dubbio!
Una volta ho trovato un esercizio che diceva:

Determinare una permutazione $s\inS_7$ che genera un sottogruppo ciclico di ordine 20[/list:u:36bg4f4w]

Ma una tale permutazione esiste? Anche io avrei detto che l'ordine massimo del sottogruppo che posso ottenere è 12..

[j18eos]

Dovresti trovare in \(\mathrm{Sym}7\) un \(4\)-ciclo ed un \(5\)-ciclo (a supporti) disgiunti; è possibile?

[ferrets]

Secondo me no... Disgiunti puoi trovare un 4-ciclo e un 3-ciclo..
O sbaglio?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Whispers":Una piccola delucidazione, 12 è l'ordine più grande che un sottogruppo di $S_7$ possa avere?

Ad eccezione di [tex]S_4[/tex] (che ha sottogruppi di ordine 8), l'ordine piu' grande di un sottogruppo proprio di [tex]S_n[/tex] diverso da [tex]A_n[/tex] e' [tex](n-1)![/tex] (gli stabilizzatori dei punti hanno questo ordine). Quindi l'ordine massimo di un sottogruppo proprio di [tex]S_7[/tex] diverso da [tex]A_7[/tex] e' [tex]720[/tex]. Un argomento classico dimostra che non ci sono sottogruppi di indice minore di [tex]n[/tex]: se ce ne fosse uno l'azione di [tex]S_n[/tex] sui suoi laterali destri per moltiplicazione a destra determinerebbe un omomorfismo iniettivo [tex]S_n \to S_k[/tex] con [tex]k < n[/tex], assurdo.

[ferrets]

E come posso procedere per trovarne uno di ordine 20, per esempio?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"ferrets":E come posso procedere per trovarne uno di ordine 20, per esempio?

Ne trovi di ordine 20, ma non ciclici. Chiama [tex]H[/tex] un sottogruppo di [tex]S_5[/tex] di ordine 5 (quindi ciclico generato da un 5-ciclo). Il normalizzante [tex]N_{S_5}(H)[/tex] ha ordine 20. Ti ricordo che il normalizzante di [tex]H[/tex] in [tex]S_5[/tex] e' l'insieme di quegli elementi [tex]g \in S_5[/tex] tali che [tex]g^{-1}Hg=H[/tex]. Per calcolarne l'indice devi aver visto le azioni dei gruppi: l'azione di coniugio di [tex]S_5[/tex] sui suoi sottogruppi di ordine 5 e' transitiva (per questo non serve usare Sylow! Si dimostra facilmente che due qualsivoglia 5-cicli di [tex]S_5[/tex] sono coniugati) e quindi la cardinalita' dell'unica orbita, 6 (tanti sono i sottogruppi di ordine 5, e' un semplice calcolo di tipo combinatorio), deve coincidere con l'indice dello stabilizzatore di un sottogruppo di ordine 5 (che coincide col suo normalizzante), che quindi ha ordine [tex]120/6=20[/tex]. Ora e' chiaro che [tex]N_{S_5}(H)[/tex] (il sottogruppo di ordine 20 di [tex]S_5[/tex] che abbiamo trovato) e' anche un sottogruppo di [tex]S_7[/tex], essendo canonicamente [tex]S_5 \leq S_7[/tex].

Ma ti ripeto, [tex]S_7[/tex] non ha sottogruppi ciclici di ordine 20.