Esercizio gruppo e potenze
Salve,
Ho alcuni problemi con questo esercizio:
Sia $(S,*)$ un gruppo e sia x un elemento di S. Provare che $AA n,m in ZZ$ risulta:
(1) $x^m * x^n = x^(m+m)$
(2) $(x^m)^n = x^(m * n)$
Ho dimostrato le stesse proprietà $AA n,m in NN$ con il principio di induzione. Inoltre dovrei lavorare semplicemente con queste poche definizioni:
$x^0 = 1; x^n = x^(n-1)*x; x^n=(x^(-1))^-n$
Come posso procedere in $ZZ$ ?
Grazie!
Ho alcuni problemi con questo esercizio:
Sia $(S,*)$ un gruppo e sia x un elemento di S. Provare che $AA n,m in ZZ$ risulta:
(1) $x^m * x^n = x^(m+m)$
(2) $(x^m)^n = x^(m * n)$
Ho dimostrato le stesse proprietà $AA n,m in NN$ con il principio di induzione. Inoltre dovrei lavorare semplicemente con queste poche definizioni:
$x^0 = 1; x^n = x^(n-1)*x; x^n=(x^(-1))^-n$
Come posso procedere in $ZZ$ ?
Grazie!
Risposte
L'unica cosa da fare e' usare la terza proprieta' ($x^n = (x^{-1})^{-n}$) per ricondursi alla dimostrazione che hai fatto su $\mathbb{N}$.
Grazie per la risposta. La proprietà da utilizzare l'avevo intuita. Ma riesco a verificare solo il caso in cui m ed n sono negativi. Quando m>0 e n<0 come dovrei procedere?
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