Esercizio - Gruppo abeliano e ordine di $x * y$
Esercizio: Si dimostri che, dato un gruppo abeliano [tex]$G$[/tex] e presi [tex]$x , y \in G$[/tex] tali che l'ordine di [tex]$x$[/tex] è [tex]$m$[/tex] e l'ordine di [tex]$y$[/tex] è [tex]$n$[/tex], si ha che l'ordine di [tex]$ x \cdot y$[/tex] divide [tex]$m.c.m. ( m , n )$[/tex].
Dimostrazione:
Devo dimostrare che, detto [tex]$\alpha$[/tex] l'ordine di [tex]$x \cdot y$[/tex], [tex]$\exists h \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$m.c.m. ( m , n ) = \frac{m n}{M.C.D.(m,n)} = h \cdot \alpha$[/tex].
[tex]$\alpha = \frac{m n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}$[/tex]
[tex]$(x \cdot y )^{ \frac{m n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} = {y^{ m }}^{\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} \cdot {y^{ n }}^{\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} = {e_G}^{\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} \cdot {e_G}^{\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} $[/tex]
[tex]$M.C.D.(m,n) | m$[/tex] e [tex]$M.C.D.(m,n) | n$[/tex]. Quindi [tex]${\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}}$[/tex] e [tex]${\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}}$[/tex], prendendo [tex]$h = 1$[/tex], sono numeri naturali.
Questo prova la tesi? Scusate se ho scritto orrori.
Grazie.
Dimostrazione:
Devo dimostrare che, detto [tex]$\alpha$[/tex] l'ordine di [tex]$x \cdot y$[/tex], [tex]$\exists h \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$m.c.m. ( m , n ) = \frac{m n}{M.C.D.(m,n)} = h \cdot \alpha$[/tex].
[tex]$\alpha = \frac{m n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}$[/tex]
[tex]$(x \cdot y )^{ \frac{m n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} = {y^{ m }}^{\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} \cdot {y^{ n }}^{\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} = {e_G}^{\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} \cdot {e_G}^{\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}} $[/tex]
[tex]$M.C.D.(m,n) | m$[/tex] e [tex]$M.C.D.(m,n) | n$[/tex]. Quindi [tex]${\frac{m}{h \cdot M.C.D.(m,n)}}$[/tex] e [tex]${\frac{n}{h \cdot M.C.D.(m,n)}}$[/tex], prendendo [tex]$h = 1$[/tex], sono numeri naturali.
Questo prova la tesi? Scusate se ho scritto orrori.
Grazie.
Risposte
La fai più arzigogolata del dovuto.
Per semplicità mentale, poni [tex]a = \text{lcm}(m,n)[/tex] e scrivi [tex]a = m m_1[/tex], [tex]a = n n_1[/tex]. Allora [tex](xy)^a = x^{mm_1} y^{nn_1} = e_G[/tex]. Quindi [tex]o(xy) \mid a[/tex] (è esattamente quello che hai fatto tu senza troppi giri).
Già che ci siamo, ti pongo una domanda per farti riflettere. Sapresti darmi una condizione sufficiente affinché valga l'uguaglianza [tex]o(xy) = \text{lcm}(m,n)[/tex]?
Per semplicità mentale, poni [tex]a = \text{lcm}(m,n)[/tex] e scrivi [tex]a = m m_1[/tex], [tex]a = n n_1[/tex]. Allora [tex](xy)^a = x^{mm_1} y^{nn_1} = e_G[/tex]. Quindi [tex]o(xy) \mid a[/tex] (è esattamente quello che hai fatto tu senza troppi giri).
Già che ci siamo, ti pongo una domanda per farti riflettere. Sapresti darmi una condizione sufficiente affinché valga l'uguaglianza [tex]o(xy) = \text{lcm}(m,n)[/tex]?
Non puoi dire "prendendo [tex]h=1[/tex]", perchè non puoi scegliere tu quanto vale [tex]h[/tex]
Se [tex]h[/tex] valesse [tex]1[/tex], allora [tex]\alpha=m.c.m.(m,n)[/tex], e ciò non è detto
Se [tex]h[/tex] valesse [tex]1[/tex], allora [tex]\alpha=m.c.m.(m,n)[/tex], e ciò non è detto
"maurer":
Già che ci siamo, ti pongo una domanda per farti riflettere. Sapresti darmi una condizione sufficiente affinché valga l'uguaglianza [tex]o(xy) = \text{lcm}(m,n)[/tex]?
L'essere [tex]$m$[/tex] , [tex]$n$[/tex] coprimi è una condizione sufficiente?
"Gi8":
Non puoi dire "prendendo [tex]h=1[/tex]", perchè non puoi scegliere tu quanto vale [tex]h[/tex]
Se [tex]h[/tex] valesse [tex]1[/tex], allora [tex]\alpha=m.c.m.(m,n)[/tex], e ciò non è detto
Io devo dimostrare che l'ordine divide l'[tex]$m.c.m.$[/tex], quindi devo dimostrare che esiste un certo [tex]$h$[/tex] tale che...
Lo posso scegliere come mi pare o sbaglio?
Grazie.
Quello che volevo dire è che c'è un po' di confuzione con le lettere.
Devi dimostrare che [tex]$\exists h \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$\alpha = \frac{m.c.m.(m,n)}{h}[/tex]
Hai dimostrato che [tex](x \cdot y )^{ \frac{m n}{k \cdot M.C.D.(m,n)}} = e_G[/tex] se [tex]k=1[/tex], cioè hai dimostrato che [tex](x \cdot y )^{ m.c.m.(m,n)} = e_G[/tex]
Questo ci porta a dire che [tex]\alpha|m.c.m.(m,n)[/tex], cioè la tesi.
Devi dimostrare che [tex]$\exists h \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$\alpha = \frac{m.c.m.(m,n)}{h}[/tex]
Hai dimostrato che [tex](x \cdot y )^{ \frac{m n}{k \cdot M.C.D.(m,n)}} = e_G[/tex] se [tex]k=1[/tex], cioè hai dimostrato che [tex](x \cdot y )^{ m.c.m.(m,n)} = e_G[/tex]
Questo ci porta a dire che [tex]\alpha|m.c.m.(m,n)[/tex], cioè la tesi.
Ha ragione Gi8! Ti complichi inutilmente la vita: per introdurre quell'h e poi porlo uguale a 1, tanto vale che parti subito con il m.c.m.
Comunque, se [tex]\gcd(m,n) = 1[/tex] effettivamente l'ordine è il prodotto degli ordini. Ma avrei preferito una dimostrazione... La condizione è necessaria?
Comunque, se [tex]\gcd(m,n) = 1[/tex] effettivamente l'ordine è il prodotto degli ordini. Ma avrei preferito una dimostrazione... La condizione è necessaria?
"maurer":
Ha ragione Gi8! Ti complichi inutilmente la vita: per introdurre quell'h e poi porlo uguale a 1, tanto vale che parti subito con il m.c.m.
Comunque, se [tex]\gcd(m,n) = 1[/tex] effettivamente l'ordine è il prodotto degli ordini. Ma avrei preferito una dimostrazione... La condizione è necessaria?
Giustissimo...
La dimostrazione credo che si possa fare così: se [tex]$M.C.D.(m , n) = 1$[/tex] si verifica che [tex]$( x \cdot y )^{m n } = e_G$[/tex].
Facciamo vedere che non esiste alcun [tex]$k \in \mathbb{N}$[/tex], [tex]$k < m n$[/tex], per cui [tex]$(x \cdot y )^k = e_G$[/tex].
Ma l'ordine di [tex]$x \cdot y$[/tex] - l'abbiam visto prima - deve dividere il minimo comune multiplo, cioè [tex]$m n$[/tex]. [tex]$m, n$[/tex] sono coprimi, quindi si ha che [tex]$k | m$[/tex] oppure [tex]$k | n$[/tex]. Supponiamo per esempio [tex]$k | m$[/tex], quindi [tex]$k < m$[/tex].
Allora [tex]$(x \cdot y )^{k} = x^k \cdot y^k$[/tex] con [tex]$x^k \ne e_G$[/tex]. Segue che [tex]$m n$[/tex] è esattamente l'ordine del prodotto.
"Seneca":
Ma l'ordine di [tex]$x \cdot y$[/tex] - l'abbiam visto prima - deve dividere il minimo comune multiplo, cioè [tex]$m n$[/tex]. [tex]$m, n$[/tex] sono coprimi, quindi si ha che [tex]$k | m$[/tex] oppure [tex]$k | n$[/tex].
Ehm... dove sta scritto che [tex]k[/tex] è un numero primo?
"maurer":
Ehm... dove sta scritto che [tex]k[/tex] è un numero primo?
Hai ragione!
Allora appena ho un attimo di tempo ci penso. Grazie dell'aiuto maurer.
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