Esercizio gruppi isomorfi
Sia $N=C_6$ un gruppo ciclico di ordine 6.
a) Provare che $Aut(G)~=C_2$ (non so se sia il simbolo giusto...)
b) Determinare tutti gli endomorfismi di $C_2$
c) Dimostrare che tutti i prodotti semidiretti tra N e $C_2$ sono isomorfi a $C_6 X C_2$ o a $D_12$, il gruppo diedrale di ordine 12.
RISOLUZIONE
Dunque:
$C_6 = {1_C, a, a^2, a^3, a^4, a^5}=$
$Aut(G)$ è il gruppo degli automorfismi di G, cioè degli isomorfismi di G in sè (primo problema: ma G chi è? Si intende forse N? Sarà un errore di testo? Secondo problema: negli appunti delle lezioni abbiamo definito l'automorfismo come un omomorfismo di G in sè, mentre sul libro è definito come un isomorfismo da G in sè.)
In generale in questi casi devo trovare un isomorfismo che vada da $C_2$ a $Aut(G)$ (o anche viceversa). Ma come lo trovo? Come faccio a sapere come è fatto $Aut(G)$?
In generale, in questi casi, come faccio ad inventarmi un isomorfismo?
Grazie in anticipo.
a) Provare che $Aut(G)~=C_2$ (non so se sia il simbolo giusto...)
b) Determinare tutti gli endomorfismi di $C_2$
c) Dimostrare che tutti i prodotti semidiretti tra N e $C_2$ sono isomorfi a $C_6 X C_2$ o a $D_12$, il gruppo diedrale di ordine 12.
RISOLUZIONE
Dunque:
$C_6 = {1_C, a, a^2, a^3, a^4, a^5}=$
$Aut(G)$ è il gruppo degli automorfismi di G, cioè degli isomorfismi di G in sè (primo problema: ma G chi è? Si intende forse N? Sarà un errore di testo? Secondo problema: negli appunti delle lezioni abbiamo definito l'automorfismo come un omomorfismo di G in sè, mentre sul libro è definito come un isomorfismo da G in sè.)
In generale in questi casi devo trovare un isomorfismo che vada da $C_2$ a $Aut(G)$ (o anche viceversa). Ma come lo trovo? Come faccio a sapere come è fatto $Aut(G)$?
In generale, in questi casi, come faccio ad inventarmi un isomorfismo?
Grazie in anticipo.
Risposte
Un automorfismo è un omomorfismo ingettivo (quindi un isomorfismo) di $G$ in se stesso. Essendo ingettivo, sai che preserva i periodi. Detto abbastanza volgarmente si tratta di trovare quanti isomorfismi mandano generatori in generatori...
Sai che in $C_6$ i generatori sono $phi(6)=2$, cioè $a$ ed $a^5$, allora avrai, oltre all'automorfismo identico, anche quello che manda $a \to a^5$.
Perciò $|Aut(G)|=2$ e sappiamo che l'unico gruppo di ordine 2 è proprio $C_2$.
Altri automorfismi non è possibile che esistano, perché gli altri elementi hanno periodo diverso!
PS Scusami avrò scritto il tutto da cani ma vado di fretta
Sai che in $C_6$ i generatori sono $phi(6)=2$, cioè $a$ ed $a^5$, allora avrai, oltre all'automorfismo identico, anche quello che manda $a \to a^5$.
Perciò $|Aut(G)|=2$ e sappiamo che l'unico gruppo di ordine 2 è proprio $C_2$.
Altri automorfismi non è possibile che esistano, perché gli altri elementi hanno periodo diverso!
PS Scusami avrò scritto il tutto da cani ma vado di fretta
Grazie, è chiarissimo.
Nel frattempo ho provato a risolvere il punto b)
Gli endomorfismi sono invece omomorfismi da G in sè, quindi non biiettivi.
$C_2={1, c}$
In pratica devo trovare delle applicazioni da $C_2$ in se stesso che preservino la moltiplicazione.
Uno è l'identità, che manda gli elementi in se stessi.
L'altra applicazione che soddisfa le condizioni è
$phi: C_2 rarr C_2$ tale che
$phi(1) = 1$
$phi(c) =1$
(A me pare ben posto trattandosi di applicazioni non biiettive.)
Infatti $phi(1*c)=phi(c)=1$
$phi(1)*phi(c)=1*1=1$
Mi sembrano gli unici endomorfismi possibili: infatti, sia quello che manda entrambi gli elementi in $c$, sia quello che "scambia" gli elementi tra loro non preservano i prodotti.
E' corretto?
Grazie dell'aiuto e, vista l'ora, buon appetito!
Nel frattempo ho provato a risolvere il punto b)
Gli endomorfismi sono invece omomorfismi da G in sè, quindi non biiettivi.
$C_2={1, c}$
In pratica devo trovare delle applicazioni da $C_2$ in se stesso che preservino la moltiplicazione.
Uno è l'identità, che manda gli elementi in se stessi.
L'altra applicazione che soddisfa le condizioni è
$phi: C_2 rarr C_2$ tale che
$phi(1) = 1$
$phi(c) =1$
(A me pare ben posto trattandosi di applicazioni non biiettive.)
Infatti $phi(1*c)=phi(c)=1$
$phi(1)*phi(c)=1*1=1$
Mi sembrano gli unici endomorfismi possibili: infatti, sia quello che manda entrambi gli elementi in $c$, sia quello che "scambia" gli elementi tra loro non preservano i prodotti.
E' corretto?
Grazie dell'aiuto e, vista l'ora, buon appetito!
Anche io direi di sì, anche perché $phi(1)$ deve essere necessariamente $1$.
"mistake89":
Anche io direi di sì, anche perché $phi(1)$ deve essere necessariamente $1$.
E' vero, non ci avevo pensato.
Suggerimenti per il terzo punto?
Ciao e grazie
I miei scarsi progressi:
Dunque, il prodotto semidiretto di due gruppi, $C_6$ e $C_2$ nel mio caso è il prodotto cartesiano dei due gruppi munito dell'operazione:
$(a_1, b_1) * (a_2, b_2)= (a*psi_(b_1)(a_2), b_1 b_2)$
dove $psi$ è un omomorfismo che va da $C_2$ ad $Aut(C_6)$ (o il contrario?) e $a_i in C_6$ e $b_j in C_2$.
Abbiamo visto prima che tra i due gruppi ci sono sicuramente due isomorfismi (che sono comunque omomorfismi), cioè l'identità e quello che mandava $a rarr a^5$
Ma ce ne sono altri? E poi in generale come rappresento il mio gruppo semidiretto? Cioè, come lo scrivo esplicitamente?
Grazie dell'aiuto
Dunque, il prodotto semidiretto di due gruppi, $C_6$ e $C_2$ nel mio caso è il prodotto cartesiano dei due gruppi munito dell'operazione:
$(a_1, b_1) * (a_2, b_2)= (a*psi_(b_1)(a_2), b_1 b_2)$
dove $psi$ è un omomorfismo che va da $C_2$ ad $Aut(C_6)$ (o il contrario?) e $a_i in C_6$ e $b_j in C_2$.
Abbiamo visto prima che tra i due gruppi ci sono sicuramente due isomorfismi (che sono comunque omomorfismi), cioè l'identità e quello che mandava $a rarr a^5$
Ma ce ne sono altri? E poi in generale come rappresento il mio gruppo semidiretto? Cioè, come lo scrivo esplicitamente?
Grazie dell'aiuto
Da quanto hai premesso non ce ne possono essere altri in quanto [tex]$C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] per cui, a meno d'isomorfismi: [tex]$C_6\rtimes_{\psi}C_2\in\{C_6\times C_2;\,D_{12}\}$[/tex] (prodotto semidiretto di [tex]$C_6$[/tex] e [tex]$C_2$[/tex] mediante l'omomorfismo [tex]$\psi$[/tex] di [tex]$C_2$[/tex] in [tex]$\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex], o se preferisci mediante l'endomorfismo [tex]$\psi$[/tex] di [tex]$C_2$[/tex], o se preferisci ancora mediante l'azione gruppale [tex]$\psi$[/tex] di [tex]$C_2$[/tex] su [tex]$C_6$[/tex]).
Non ho capito molto bene...
Cerco di spiegare cosa non mi è chiaro:
Dunque, io so che $C_2$ è isomorfo ad $Aut(C_6)$, quindi ci sono degli isomorfismi che da $C_2 rarr Aut(C_6)$.
Ma il prodotto diretto è definito tramite un omomorfismo: quindi oltre a $id$ e $phi$ (gli isomorfismi trovati al punto 1) potrebbero esserci degli omomorfismi.
Tu dici che non ce ne possono essere: perchè?
Poi in generale non ho capito molto bene come hai fatto a "vedere" il prodotto semidiretto. E' il primo esercizio che faccio sull'argomento, non sono molto ferrata...
In generale, scrivednolo secondo la definizione, con $a_1, a_2 in C_6$ e $b_1,b_2 in C_2$
l'elemento tipo di [tex]C_6 \rtimes_{\psi}C_2[/tex] sarebbe [tex]{(a_i \psi_{b_1} (a_2), b_1 b_2)}[/tex]
Se considero come $psi$ l'identità, a cosa è uguale [tex]a_i \psi_{b_1} (a_2)[/tex]?
E' questo che mi blocca un po'...(tra le tante cose
)
Grazie per l'aiuto e buona giornata
PS: Mi scuso per il miscuglio di Tex e ASCIIMathML, il secondo lo so usare un pochino di più ma a volte non trovo i simboli giusti
Cerco di spiegare cosa non mi è chiaro:
Dunque, io so che $C_2$ è isomorfo ad $Aut(C_6)$, quindi ci sono degli isomorfismi che da $C_2 rarr Aut(C_6)$.
Ma il prodotto diretto è definito tramite un omomorfismo: quindi oltre a $id$ e $phi$ (gli isomorfismi trovati al punto 1) potrebbero esserci degli omomorfismi.
Tu dici che non ce ne possono essere: perchè?
Poi in generale non ho capito molto bene come hai fatto a "vedere" il prodotto semidiretto. E' il primo esercizio che faccio sull'argomento, non sono molto ferrata...
In generale, scrivednolo secondo la definizione, con $a_1, a_2 in C_6$ e $b_1,b_2 in C_2$
l'elemento tipo di [tex]C_6 \rtimes_{\psi}C_2[/tex] sarebbe [tex]{(a_i \psi_{b_1} (a_2), b_1 b_2)}[/tex]
Se considero come $psi$ l'identità, a cosa è uguale [tex]a_i \psi_{b_1} (a_2)[/tex]?
E' questo che mi blocca un po'...(tra le tante cose
)Grazie per l'aiuto e buona giornata
PS: Mi scuso per il miscuglio di Tex e ASCIIMathML, il secondo lo so usare un pochino di più ma a volte non trovo i simboli giusti
Ripeto: essendo [tex]$C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] gli omomorfismi di [tex]$C_2$[/tex] in [tex]$\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] non sono altri che gli endomorfismi di [tex]$C_2$[/tex]; tu hai provato che tali endomorfismi sono solo 2 o mi sbaglio? 
Per quanto riguarda il prodotto semidiretto non è il tuo obiettivo!?
Tornando al caso che [tex]$\psi=id$[/tex] sarebbe, secondo la tua notazione: [tex]$\psi_1=\iota_{C_6};\,\psi_a=\overline\psi\in\mathrm{Aut}C_6$[/tex] ove [tex]$\overline\psi:\forall b\in C_6\to\dot\exists b^{-1}\in C_6$[/tex]; in quanto l'immagine di un elemento di [tex]$C_2$[/tex] mediante [tex]$\psi$[/tex] è un automorfismo di [tex]$C_6$[/tex]!
Purtroppo il prodotto semidiretto di gruppi è imbroglioso anche per me che lo conosco da anni
, quindi non credo di averti chiarito tutto! 
Continua a chiedere cosa non ti sia ancora chiaro.
Per quanto riguarda il prodotto semidiretto non è il tuo obiettivo!?
Tornando al caso che [tex]$\psi=id$[/tex] sarebbe, secondo la tua notazione: [tex]$\psi_1=\iota_{C_6};\,\psi_a=\overline\psi\in\mathrm{Aut}C_6$[/tex] ove [tex]$\overline\psi:\forall b\in C_6\to\dot\exists b^{-1}\in C_6$[/tex]; in quanto l'immagine di un elemento di [tex]$C_2$[/tex] mediante [tex]$\psi$[/tex] è un automorfismo di [tex]$C_6$[/tex]!
Purtroppo il prodotto semidiretto di gruppi è imbroglioso anche per me che lo conosco da anni
, quindi non credo di averti chiarito tutto! Continua a chiedere cosa non ti sia ancora chiaro.
"j18eos":
Ripeto: essendo [tex]$C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] gli omomorfismi di [tex]$C_2$[/tex] in [tex]$\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] non sono altri che gli endomorfismi di [tex]$C_2$[/tex]; tu hai provato che tali endomorfismi sono solo 2 o mi sbaglio?
Ok, ho capito, grazie.
Tornando al caso che [tex]$\psi=id$[/tex] sarebbe, secondo la tua notazione: [tex]$\psi_1=\iota_{C_6};\,\psi_a=\overline\psi\in\mathrm{Aut}C_6$[/tex] ove [tex]$\overline\psi:\forall b\in C_6\to\dot\exists b^{-1}\in C_6$[/tex]; in quanto l'immagine di un elemento di [tex]$C_2$[/tex] mediante [tex]$\psi$[/tex] è un automorfismo di [tex]$C_6$[/tex]!
Aspetta, mi sto incasinando con la notazione. Faccio un piccolo riepilogo, ok?
$C_6 = $
$C_2=$
Io devo trovare gli elementi di [tex]C_6 \rtimes{\psi}C_2[/tex] che sono della forma $(a_1* psi_(b_1) * a_2, b_1 * b_2)$ (uso un unico simbolo per le operazioni dei due gruppi per velocità)
Se $psi = id$, allora $id_(b_1) = id(b_1) = b_1$, e $a_1 * id_(b_1)*a_2=a_1*b_1*a_2$ e il genercio elemento è
$(a_1*b_1*a_2, b_1*b_2)$ ma che operazione uso, visto che gli $a_i$ e i $b_j$ appartengono a gruppi diversi?
(Probabilmente è una domanda assurda che dimostra ch non ho capito niente, e mi scuso in anticipo per il tempo che ti sto facendo perdere)
Questo accidenti di prodotto semidiretto!! Non lo capisco!!
Non è [tex]$id(b_1)=b_1$[/tex] ma è [tex]$id(b_1)\in\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex] ricorda che [tex]$\psi:C_2\to\mathrm{Aut}(C_6)$[/tex], l'imbroglio stà nell'essere [tex]$\mathrm{Aut}(C_6)\cong C_2$[/tex]. 
Ho scritto nell'ultimo post quali automorfismi di [tex]$C_6$[/tex] puoi "acchiappare" mediante [tex]$id$[/tex]!
Se ti può essere utile io scrivo: dati i gruppi [tex]$K$[/tex] e [tex]$N$[/tex], l'azione [tex]$\phi$[/tex] di [tex]$K$[/tex] in [tex]$N$[/tex]; omomorfismo di [tex]$K$[/tex] in [tex]$\mathrm{Aut}(N)$[/tex], considerato il loro prodotto semidiretto [tex]$E=N\rtimes_{\phi}K$[/tex], scrivo che [tex]$\forall(a_1;b_1);\,(a_2;b_2)\in E,\,(a_1;b_1)\cdot_{\phi}(a_2;b_2)=(a_1a_2^{b_1^{\phi}};b_1b_2)$[/tex] ove [tex]$a_2^{b_1^{\phi}}$[/tex] è l'immagine di [tex]$a_2$[/tex] mediante l'automorfismo di [tex]$N$[/tex] determinato da [tex]$b_1$[/tex]; elemento di [tex]$K$[/tex], mediante l'omomorfismo [tex]$\phi$[/tex].
Ho scritto nell'ultimo post quali automorfismi di [tex]$C_6$[/tex] puoi "acchiappare" mediante [tex]$id$[/tex]!Se ti può essere utile io scrivo: dati i gruppi [tex]$K$[/tex] e [tex]$N$[/tex], l'azione [tex]$\phi$[/tex] di [tex]$K$[/tex] in [tex]$N$[/tex]; omomorfismo di [tex]$K$[/tex] in [tex]$\mathrm{Aut}(N)$[/tex], considerato il loro prodotto semidiretto [tex]$E=N\rtimes_{\phi}K$[/tex], scrivo che [tex]$\forall(a_1;b_1);\,(a_2;b_2)\in E,\,(a_1;b_1)\cdot_{\phi}(a_2;b_2)=(a_1a_2^{b_1^{\phi}};b_1b_2)$[/tex] ove [tex]$a_2^{b_1^{\phi}}$[/tex] è l'immagine di [tex]$a_2$[/tex] mediante l'automorfismo di [tex]$N$[/tex] determinato da [tex]$b_1$[/tex]; elemento di [tex]$K$[/tex], mediante l'omomorfismo [tex]$\phi$[/tex].
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