Esercizio gruppi finiti
Buonasera a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
Si consideri il gruppo $G=\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{8}$ e il suo sottogruppo $H=<(2,2),(3,3)>$.
1. Dire se $H$ è ciclico e calcolare l'ordine di $H$.
2. Quanti elementi di ordine $2$ ci sono in $G$? Quali di questi appartengono ad $H$?
3. Quanti elementi di ordine $8$ ci sono in $G$? Quanti di questi non appartengono ad $H$?
4. Calcolare la cardinalità dell'insieme $\{\varphi\in\mbox{Aut}(G):\varphi(H)=H\}$.
Posto la mia soluzione parziale:
1. Si ha $(2,2)=(1,1)+(1,1)$ e $(3,3)=(1,1)+(1,1)+(1,1)$, quindi $H$ è generato da $(1,1)$ ed è quindi ciclico. Notiamo che, in base a questa proprietà, $H=\{([x]_{6},[x]_{8}):x\in\mathbb{Z}\}$: difatti $x(1,1)=([x]_{6},[x]_{8})$ per ogni $x\in\mathbb{Z}$. Dimostriamo che $H=\{(a,b)\in G:a\equiv b\mod2\}$. Per quanto già detto, il problema è trovare un intero $x\in\mathbb{Z}$ tale che
\[
\begin{cases}
x & \equiv a\mod6\\
x & \equiv b\mod8
\end{cases}
\]
per ogni coppia $(a,b)\in G$ con $a\equiv b\mod2$. Dunque deve essere $x=6x'+a=8x''+b$, da cui che, equivalentemente, devono esistere $x',x''\in\mathbb{Z}$ tali che
\[
6x'-8x''=b-a;
\]
ora, $\mbox{MCD}(6,8)=2$, e quindi l'equazione diofantea ha soluzioni intere se e solo se $2|b-a$, ossia se e solo se $a\equiv b\mod2$. Ne consegue che $H$ contiene tutte e sole le coppie del tipo $(a,b)$ con $a\equiv b\mod2$. Per quanto riguarda l'ordine di $H$, possiamo scegliere $a$ in $6$ modi, e $b$ solo in $4$ modi ($b$ ed $a$ devono avere la stessa parità). Ne consegue che $|H|=24$.
2. Se $a\in\mathbb{Z}_{6}$ ha ordine $p$ e $b\in\mathbb{Z}_{8}$ ha ordine $q$, allora $(a,b)$ ha ordine $mcm(pq)$. Dunque, se $(a,b)$ ha ordine $2$, allora gli unici casi possibili sono:
a) $a$ ha ordine $1$, $b$ ha ordine $2$: l'unico caso possibile è la coppia $(0,4)$. Questo elemento appartiene ad $H$ perchè $0\equiv4\mod2$.
b) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $1$: l'unico caso possibile è la coppia $(3,0)$. Questo elemento non appartiene ad $H$.
c) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $2$: l'unico caso possibile è la coppia $(3,4)$. Questo elemento non appartiene ad $H$.
3. Se $(a,b)$ ha ordine $8$, allora gli unici casi possibili sono:
a) $a$ ha ordine $1$, $b$ ha ordine $ $$8$: i casi possibili sono $(0,1),(0,3),(0,5),(0,7)$. Nessuno di questi appartiene ad $H$.
b) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $4$: i casi possibili sono $(3,2),(3,6)$. Nessuno di questi appartiene ad $H$.
c) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $8$: i casi possibili sono $(3,1),(3,3),(3,5),(3,7)$. Tutti questi elementi appartengono ad $H$.
I primi 3 punti vanno bene? Per il 4 ho bisogno di aiuto...Ho calcolato il numero di automorfismi di \(\displaystyle H \), ma quando un automorfismo di \(\displaystyle H \) si estende ad un automorfismo di \(\displaystyle G \)?
Grazie a tutti
Si consideri il gruppo $G=\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{8}$ e il suo sottogruppo $H=<(2,2),(3,3)>$.
1. Dire se $H$ è ciclico e calcolare l'ordine di $H$.
2. Quanti elementi di ordine $2$ ci sono in $G$? Quali di questi appartengono ad $H$?
3. Quanti elementi di ordine $8$ ci sono in $G$? Quanti di questi non appartengono ad $H$?
4. Calcolare la cardinalità dell'insieme $\{\varphi\in\mbox{Aut}(G):\varphi(H)=H\}$.
Posto la mia soluzione parziale:
1. Si ha $(2,2)=(1,1)+(1,1)$ e $(3,3)=(1,1)+(1,1)+(1,1)$, quindi $H$ è generato da $(1,1)$ ed è quindi ciclico. Notiamo che, in base a questa proprietà, $H=\{([x]_{6},[x]_{8}):x\in\mathbb{Z}\}$: difatti $x(1,1)=([x]_{6},[x]_{8})$ per ogni $x\in\mathbb{Z}$. Dimostriamo che $H=\{(a,b)\in G:a\equiv b\mod2\}$. Per quanto già detto, il problema è trovare un intero $x\in\mathbb{Z}$ tale che
\[
\begin{cases}
x & \equiv a\mod6\\
x & \equiv b\mod8
\end{cases}
\]
per ogni coppia $(a,b)\in G$ con $a\equiv b\mod2$. Dunque deve essere $x=6x'+a=8x''+b$, da cui che, equivalentemente, devono esistere $x',x''\in\mathbb{Z}$ tali che
\[
6x'-8x''=b-a;
\]
ora, $\mbox{MCD}(6,8)=2$, e quindi l'equazione diofantea ha soluzioni intere se e solo se $2|b-a$, ossia se e solo se $a\equiv b\mod2$. Ne consegue che $H$ contiene tutte e sole le coppie del tipo $(a,b)$ con $a\equiv b\mod2$. Per quanto riguarda l'ordine di $H$, possiamo scegliere $a$ in $6$ modi, e $b$ solo in $4$ modi ($b$ ed $a$ devono avere la stessa parità). Ne consegue che $|H|=24$.
2. Se $a\in\mathbb{Z}_{6}$ ha ordine $p$ e $b\in\mathbb{Z}_{8}$ ha ordine $q$, allora $(a,b)$ ha ordine $mcm(pq)$. Dunque, se $(a,b)$ ha ordine $2$, allora gli unici casi possibili sono:
a) $a$ ha ordine $1$, $b$ ha ordine $2$: l'unico caso possibile è la coppia $(0,4)$. Questo elemento appartiene ad $H$ perchè $0\equiv4\mod2$.
b) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $1$: l'unico caso possibile è la coppia $(3,0)$. Questo elemento non appartiene ad $H$.
c) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $2$: l'unico caso possibile è la coppia $(3,4)$. Questo elemento non appartiene ad $H$.
3. Se $(a,b)$ ha ordine $8$, allora gli unici casi possibili sono:
a) $a$ ha ordine $1$, $b$ ha ordine $ $$8$: i casi possibili sono $(0,1),(0,3),(0,5),(0,7)$. Nessuno di questi appartiene ad $H$.
b) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $4$: i casi possibili sono $(3,2),(3,6)$. Nessuno di questi appartiene ad $H$.
c) $a$ ha ordine $2$, $b$ ha ordine $8$: i casi possibili sono $(3,1),(3,3),(3,5),(3,7)$. Tutti questi elementi appartengono ad $H$.
I primi 3 punti vanno bene? Per il 4 ho bisogno di aiuto...Ho calcolato il numero di automorfismi di \(\displaystyle H \), ma quando un automorfismo di \(\displaystyle H \) si estende ad un automorfismo di \(\displaystyle G \)?
Grazie a tutti
Risposte
Mi sembra tutto corretto...
Per il punto 4 non mi vengono in mente idee
Per il punto 4 non mi vengono in mente idee
"j18eos":
Mi sembra tutto corretto...
Per il punto 4 non mi vengono in mente idee
E per il mio commento? "Quali automorfismi di \(\displaystyle H \) si estendono ad automorfismi di \(\displaystyle G \)" ?
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