Esercizio Gruppi e Prodotto Diretto

[LS005]

Ciao a tutti,
Avrei bisogno di una mano a capire come fare per svolgere questo tipo di esercizi.
Datemi una mano vi prego perchè non so da dove iniziare.

Grazie infinite

Considerato il gruppo ( Z12 , +), scrivere la tavola di composizione del sottogruppo H = <3>
A) Verificare che H e’ isomorfo al gruppo (Z5* , *) individuando tutti i possibili isomorfismi tra essi.
B) Stabilire se il gruppo Z5* prodotto diretto Z5 (Prodotto diretto dei gruppi (Z5* , *) e (Z5 ,+) e’ ciclico individuando tutti i possibili suoi generatori.


Determinare l’elemento $ ([bar (2) , bar (1)]^-1 * [bar (3) , bar (4)]^-1)^-1 * [bar (2) , bar (4)] $

[mistake89]

Qualche idea?

[LS005]

"mistake89":Qualche idea?

scusami ma io idee non ne ho...purtroppo ho solo affrontato gli argomenti dal punto di vista teorico ma non so affrontare questo esercizio

[mistake89]

Parti con lo scrivere $H$ no? sottogruppo ciclico (additivo, quindi son multipli) di $ZZ_12$. Che periodo ha $3$ e quindi $H$ in $G$?

[LS005]

"mistake89":Parti con lo scrivere $H$ no? sottogruppo ciclico (additivo, quindi son multipli) di $ZZ_12$. Che periodo ha $3$ e quindi $H$ in $G$?

Allora, mi sono scritto <3> come l'insieme
$ { bar(0), bar(3), bar(6), bar(9) } $ .
Ora Z5 per essere ciclico deve essere $ ( ZZ5^* , * ) $ = < a > $ = { a^h | h in ZZ } $ che ha due generatori, che sono
<2> e <3>
Ora so che essendo entrambi ciclici hanno 2 isomorfismi (li ho trovati con la funzione di eulero).
Come faccio a esplicitarli?

[mistake89]

Entrambi ciclici di ordine $4$ sono pertanto isomorfi. Per determinare esplicitamente questo isomorfismo, essendo ciclici, basta mandare generatori in generatori. Quindi ad esempio mandando $3$ in $2$.

[vict85]

"mistake89":Entrambi ciclici di ordine $4$ sono pertanto isomorfi. Per determinare esplicitamente questo isomorfismo, essendo ciclici, basta mandare generatori in generatori. Quindi ad esempio mandando $3$ in $2$.

Di fatto dovrà trovare tutti i generatori e considerare quindi tutte le combinazioni (tenuto conto che in realtà qualcuno si ripeterà).

L'ultimo è senza dubbio ciclico perché 4 e 5 sono coprimi. Per trovarli potresti provare a considerare le coppie di generatori (uno di uno e uno dell'altro).

[mistake89]

Ovviamente sì, intendevo dire quello, forse non mi sono espresso bene