Esercizio gruppi

[Mrhaha]

Salve a tutti. Il prof ci ha lasciato questo esercizio:
fissato un intero n > 0, possiamo considerare un gruppo con n elementi:dimostrare che a meno di isomorfismo,essi sono finiti.
Io ho pensato al teorema enorme,ma mi sembra assurdo dimostrarlo! ...c'è qualcosa che non vedo?Grazie!

[maurer]

Beh, non basta osservare brutalmente che il numero di funzioni da [tex]G \times G[/tex] a valori in [tex]G[/tex] è finito? In particolare saranno finite anche le operazioni che rendono quell'insieme un gruppo...

[Mrhaha]

Oh mio Dio! Io Ragionavo sulla cardinalità,invece bastava ragionare sulle azioni giusto?

[maurer]

No, non ho parlato di azioni. Parlavo di operazioni: un gruppo su n elementi è identificato solo da un'operazione, no? Siccome le operazioni con le proprietà di un gruppo sono solo funzioni da [tex]G \times G[/tex] in [tex]G[/tex], basta mostrare che c'è un numero finito di funzioni per concludere che c'è un numero finito di gruppi, no?

[Mrhaha]

Mmm...certo! Grazie!

[vict85]

"maurer":No, non ho parlato di azioni. Parlavo di operazioni: un gruppo su n elementi è identificato solo da un'operazione, no? Siccome le operazioni con le proprietà di un gruppo sono solo funzioni da [tex]G \times G[/tex] in [tex]G[/tex], basta mostrare che c'è un numero finito di funzioni per concludere che c'è un numero finito di gruppi, no?

Considerando l'equivalenza tra tabelle di questo tipo e teorema di Cayley direi che una maniera equivalente è osservare che un gruppo finito ha un numero finito di sottogruppi e ogni gruppi di cardinalità $n$ si immerge in $S_n$.

Ci sono ovviamente molte altre strade simili.

[Mrhaha]

vict85 non capisco dove vuoi arrivare! Osservato ciò cosa seguirebbe?

[maurer]

Se non ho frainteso: ogni gruppo di cardinalità [tex]n[/tex] ammette un'immersione in [tex]\mathcal S_n[/tex]. Ora, siccome un gruppo finito può avere solo un numero finito di sottogruppi, segue l'asserto, visto che a meno di isomorfismo tutti e soli i gruppi di ordine [tex]n[/tex] sono i sottogruppi di ordine [tex]n[/tex] di [tex]\mathcal S_n[/tex].

[vict85]

"maurer":Se non ho frainteso: ogni gruppo di cardinalità [tex]n[/tex] ammette un'immersione in [tex]\mathcal S_n[/tex]. Ora, siccome un gruppo finito può avere solo un numero finito di sottogruppi, segue l'asserto, visto che a meno di isomorfismo tutti e soli i gruppi di ordine [tex]n[/tex] sono i sottogruppi di ordine [tex]n[/tex] di [tex]\mathcal S_n[/tex].

Esatto.

[Mrhaha]

Usando quindi il teorema di Cayley?

[vict85]

"Mrhaha":Usando quindi il teorema di Cayley?

Si. Questo http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Cayley

[Mrhaha]

Perfetto!Grazie!