Esercizio Gruppi

[RainbowInTheDark]

Ciao a tutti, volevo chiedere una mano per questo esercizio che mi sta tormentando da un paio di giorni

Siano G un gruppo, A e B due suoi sottogruppi. Se G = A U B allora G = A o G = B.

P.S. So che dovrei scrivere una mia soluzione ma non riesco ad arrivare a nulla di sensato. Grazie in anticipo

[vict85]

Supponiamo che in $B$ ci sia un elemento $b$ che non appartiene anche ad $A$. Consideriamo quindi il prodotto $ab$ per ogni $a\in A$. Siccome il prodotto è in $G$ allora deve appartenere ad $A$ o a $B$. Se appartenesse ad $A$ si avrebbe $a^{-1}ab=b\in A$ e quindi l'assurdo e quindi $ab\in B$. Ma questo significa che $a b b^{-1}=a\in B$ e quindi $A\subseteq B$.
Supponendo che $A$ abbia un $a$ che non è nell'intersezione con $B$ si ricava l'altro caso.

[j18eos]

Non c'è bisogno di ripetere il ragionamento per [tex]A[/tex] in quanto sono interscambiabili [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] in tale dimostrazione.

[vict85]

"j18eos":Non c'è bisogno i ripetere il ragionamento per [tex]A[/tex] in quanto sono interscambiabili [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] in tale dimostrazione.

certo.