Esercizio Gruppi
Salve a tutti.
Vorrei avere una correzione riguardo un esercizio sui gruppi e un aiuto circa un quesito.
Sull'insieme Z definiamo il prodotto:
a*b= a+b se a è pari
a-b se a è dispari
1) Far vedere che Z è un gruppo rispetto a tale operazione.
Allora, per prima cosa verifico l'associatività. Riporto solamente il ragionamento.
Scrivo dunque (a*b)*c=a*(b*c) che è la mia tesi, e ci arrivo attraverso tre sistemi. Per prima cosa sviluppo l'operazione tra a e b, e dunque ho il primo sistema, poi sviluppo quelle fra (a+b)*c e (a-b)*c e arrivo al terzo sistema, e da lì vado al contrario, dimostrando la tesi.
L'elemento neutro c'è ed è 0.
Per la ricerca dell'inverso distinguo i due casi, a pari e a dispari. Chiamo l'inverso INV.
Se a pari:
a*INV=a+INV=0 ==> INV=-a
Dunque se a è pari l'inverso di a equivale all'inverso dell'elemento a in Z con l'operazione somma.
Se a è dispari:
a*INV=a-INV=0===> INV=a
Se a è dispari allora ogni elemento è il suo inverso (Possibile?)
Per ora chiedo se tutto ciò sia corretto, poi ho altre due domande.
Grazie per l'attenzione
Vorrei avere una correzione riguardo un esercizio sui gruppi e un aiuto circa un quesito.
Sull'insieme Z definiamo il prodotto:
a*b= a+b se a è pari
a-b se a è dispari
1) Far vedere che Z è un gruppo rispetto a tale operazione.
Allora, per prima cosa verifico l'associatività. Riporto solamente il ragionamento.
Scrivo dunque (a*b)*c=a*(b*c) che è la mia tesi, e ci arrivo attraverso tre sistemi. Per prima cosa sviluppo l'operazione tra a e b, e dunque ho il primo sistema, poi sviluppo quelle fra (a+b)*c e (a-b)*c e arrivo al terzo sistema, e da lì vado al contrario, dimostrando la tesi.
L'elemento neutro c'è ed è 0.
Per la ricerca dell'inverso distinguo i due casi, a pari e a dispari. Chiamo l'inverso INV.
Se a pari:
a*INV=a+INV=0 ==> INV=-a
Dunque se a è pari l'inverso di a equivale all'inverso dell'elemento a in Z con l'operazione somma.
Se a è dispari:
a*INV=a-INV=0===> INV=a
Se a è dispari allora ogni elemento è il suo inverso (Possibile?)
Per ora chiedo se tutto ciò sia corretto, poi ho altre due domande.
Grazie per l'attenzione
Risposte
Associatività: $(a \ast b)\ast c=a \ast (b \ast c)$
Se $a$ pari e $b$ dispari allora $(a \ast b) \ast c=(a+b)-c=a\ast (b \ast c)=a+(b-c)$
Se $a$ pari e $b$ pari allora $(a \ast b) \ast c=(a+b)+c=a\ast (b \ast c)=a+(b+c)$
Se $a$ dispari e $b$ dispari allora $(a \ast b) \ast c=(a-b)+c=a\ast (b \ast c)=a-(b-c)$
Se $a$ dispari e $b$ pari allora $(a \ast b) \ast c=(a-b)-c=a\ast (b \ast c)=a-(b+c)$
Elemento neutro: $0$ infatti $a \ast 0=a \pm 0=0 \ast a=0+a=a$
Inverso di un generico elemento $a$:
- $-a$ se $a$ pari
- $a$ se $a$ è dispari
Nulla vieta di dire che un elemento non neutro è inverso di se stesso, questo vuol dire che l'elemento in questione ha ordine 2
Se $a$ pari e $b$ dispari allora $(a \ast b) \ast c=(a+b)-c=a\ast (b \ast c)=a+(b-c)$
Se $a$ pari e $b$ pari allora $(a \ast b) \ast c=(a+b)+c=a\ast (b \ast c)=a+(b+c)$
Se $a$ dispari e $b$ dispari allora $(a \ast b) \ast c=(a-b)+c=a\ast (b \ast c)=a-(b-c)$
Se $a$ dispari e $b$ pari allora $(a \ast b) \ast c=(a-b)-c=a\ast (b \ast c)=a-(b+c)$
Elemento neutro: $0$ infatti $a \ast 0=a \pm 0=0 \ast a=0+a=a$
Inverso di un generico elemento $a$:
- $-a$ se $a$ pari
- $a$ se $a$ è dispari
Nulla vieta di dire che un elemento non neutro è inverso di se stesso, questo vuol dire che l'elemento in questione ha ordine 2
Ecco una presentazione alternativa del gruppo dell’esercizio.
Sia $GL_2(ZZ)$ il gruppo delle matrici invertibili con coefficienti in $ZZ$.
Sia $G$ il sottogruppo delle matrici che fissano il primo vettore
della base canonica. Si ha quindi che
$G=\{((1, a),(0, \epsilon)): a\in ZZ\ \ e\ \ \epsilon=\pm 1\}$.
Ora ci sono due omomorfismi naturali $G\rightarrow ZZ_2$.
Il primo e’ la riduzione modulo $2$. Infatti, le matrici di $G$,
prese modulo $2$, formano un gruppo di cardinalita’ $2$ che
identifichiamo (in modo unico) con $ZZ_2$.
Il secondo si costruisce come segue. Mandare un elemento
di $G$ in $\epsilon$ e’ un omomorfismo da $G$ verso il gruppo $\{\pm 1\}$.
Se identifichiamo $\{\pm 1\}$ con $ZZ_2$, otteniamo il secondo omomofismo.
La somma dei due omomorfismi e’ un terzo omomorfismo $G\rightarrow\ZZ_2$.
Il suo nucleo e’ il sottogruppo
$H=\{((1, a),(0, \epsilon))\in G: \epsilon=(-1)^a\}.$
La biiezione $ZZ\rightarrow H$ data da $a\mapsto ((1, a),(0, \epsilon))$ con $\epsilon=(-1)^a$,
porta il prodotto su $ZZ$ dell’esercizio nella composizione naturale di $H$.
Si tratta quindi di un gruppo.
Sia $GL_2(ZZ)$ il gruppo delle matrici invertibili con coefficienti in $ZZ$.
Sia $G$ il sottogruppo delle matrici che fissano il primo vettore
della base canonica. Si ha quindi che
$G=\{((1, a),(0, \epsilon)): a\in ZZ\ \ e\ \ \epsilon=\pm 1\}$.
Ora ci sono due omomorfismi naturali $G\rightarrow ZZ_2$.
Il primo e’ la riduzione modulo $2$. Infatti, le matrici di $G$,
prese modulo $2$, formano un gruppo di cardinalita’ $2$ che
identifichiamo (in modo unico) con $ZZ_2$.
Il secondo si costruisce come segue. Mandare un elemento
di $G$ in $\epsilon$ e’ un omomorfismo da $G$ verso il gruppo $\{\pm 1\}$.
Se identifichiamo $\{\pm 1\}$ con $ZZ_2$, otteniamo il secondo omomofismo.
La somma dei due omomorfismi e’ un terzo omomorfismo $G\rightarrow\ZZ_2$.
Il suo nucleo e’ il sottogruppo
$H=\{((1, a),(0, \epsilon))\in G: \epsilon=(-1)^a\}.$
La biiezione $ZZ\rightarrow H$ data da $a\mapsto ((1, a),(0, \epsilon))$ con $\epsilon=(-1)^a$,
porta il prodotto su $ZZ$ dell’esercizio nella composizione naturale di $H$.
Si tratta quindi di un gruppo.
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