Esercizio funzioni
Salve ragazzi sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Se A e B sono due insiemi che hanno n elementi, quante possibili funzioni
f : A → B biunivoche si possono costruire?
però non ho capito bene come impostarlo , come considerazioni ho pensato che se A e B sono formati da n elementi le possibili funzioni sono date da b^a=n , però per determinare quelle biunivoche non saprei come procedere , potreste per favore darmi una mano?
Se A e B sono due insiemi che hanno n elementi, quante possibili funzioni
f : A → B biunivoche si possono costruire?
però non ho capito bene come impostarlo , come considerazioni ho pensato che se A e B sono formati da n elementi le possibili funzioni sono date da b^a=n , però per determinare quelle biunivoche non saprei come procedere , potreste per favore darmi una mano?
Risposte
Comincia a farti un'idea.
Cosa succederà se $n= 1$? E se $n=2$? E cosa se $n=3$?
Puoi tirare ad indovinare una formula generale?
Funziona per $n=4,5,6$?
Puoi dimostrarla?
Cosa succederà se $n= 1$? E se $n=2$? E cosa se $n=3$?
Puoi tirare ad indovinare una formula generale?
Funziona per $n=4,5,6$?
Puoi dimostrarla?
Ciao , ho provato a fare delle considerazioni in base ai tuoi consigli , se n=1 abbiamo che i due insiemi contengono un solo elemento quindi la funzione sarà sia iniettiva che suriettiva e quindi biunivoca.
Se n=2 avremo 2 elementi in A e 2 B e posso avere 2 funzioni biunivoche , quindi credo che per n elementi dovrei avere n funzioni biunivoche giusto?
Se n=2 avremo 2 elementi in A e 2 B e posso avere 2 funzioni biunivoche , quindi credo che per n elementi dovrei avere n funzioni biunivoche giusto?
Provato con $3$?
Con 3 elementi , la funzione per essere biunivoca deve avere associato un elemento del primo insieme con un elemento del secondo insieme quindi dovrei avere 3 funzioni biunivoche ? Ad esempio A={0,1,2} e B={1,2,3}
per essere biunivoca dovrebbe essere f(0)=1 , f(1)=2 , f(2)=3 quindi ho 3 funzioni o sono fuori strada?
per essere biunivoca dovrebbe essere f(0)=1 , f(1)=2 , f(2)=3 quindi ho 3 funzioni o sono fuori strada?
"casiofx":
Con 3 elementi , la funzione per essere biunivoca deve avere associato un elemento del primo insieme con un elemento del secondo insieme quindi dovrei avere 3 funzioni biunivoche ? Ad esempio A={0,1,2} e B={1,2,3}
per essere biunivoca dovrebbe essere f(0)=1 , f(1)=2 , f(2)=3 quindi ho 3 funzioni o sono fuori strada?
La seconda che hai detto.
Dire "quindi dovrei avere..." è sbagliato, proprio nel metodo: non puoi/devi tirare ad indovinare.
Quello che ti si chiede di fare è, innanzitutto, elencare esplicitamente tutte le biiezioni di $A=\{1,2,3\}$ in $B=\{a,b,c\}$ e contarle.
Dopodiché riflettere su come hai scritto le biiezioni che hai trovato e capire se c'è un metodo generale per contarle, cioè elaborare una congettura.
Fatto ciò, se vuoi qualche conferma in più, controllare se la tua congettura si applica ad insiemi con più elementi ($n=4,5,6$).
Se il test è positivo, cercare di dimostrare la congettura, cioè renderla un teorema; altrimenti, torna dietro e rivedi il ragionamento.
Se, invece, ti fermi a chiacchierare senza fare nemmeno mezzo conto non vai da nessuna parte.
Quello che ti si chiede di fare è, innanzitutto, elencare esplicitamente tutte le biiezioni di $A=\{1,2,3\}$ in $B=\{a,b,c\}$ e contarle.
Dopodiché riflettere su come hai scritto le biiezioni che hai trovato e capire se c'è un metodo generale per contarle, cioè elaborare una congettura.
Fatto ciò, se vuoi qualche conferma in più, controllare se la tua congettura si applica ad insiemi con più elementi ($n=4,5,6$).
Se il test è positivo, cercare di dimostrare la congettura, cioè renderla un teorema; altrimenti, torna dietro e rivedi il ragionamento.
Se, invece, ti fermi a chiacchierare senza fare nemmeno mezzo conto non vai da nessuna parte.
"casiofx":
le possibili funzioni sono date da b^a=n
Cosa?
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