Esercizio Funzione Iniettiva

[vikthor1]

Ragazzi , mi sto preparando per l'esame di matematica discreta e non riesco a capire come svolgere questo esercizio.

Dimostrare che questa funzione è iniettiva:
f:N--->N tale che f(n)=n^2+2n+3

Ringrazio anticipatamente chi mi risponde

[feddy]

Basta applicare la definizione di funzione iniettiva:

Si deve, in sostanza, avere che $f(x_1)=f(x_2)=>x_1 =x_2$, $x_1,x_2 in NN$.

$x_1^2 +2x_1 +3=x_2^2+2x_2+3$
$...$
$(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=0$

Da cui $x_1=x_2$ oppure $x_1+x_2=-2$.
Chiaramente l'ultima condizione non è accettabile in quanto due numeri naturali, sommati tra loro, non possono restituire un numero negativo.
Per cui l'unica soluzione accettabile è $x_1=x_2$


Un altro modo di ragionare, un po' più "praticone" è ragionare sulla figura che si viene a formare.
In soldoni, facendo finta di essere su $RR$, potresti disegnare la tua parabola come sai fare. Attenzione però, tale funzione è definita in $NN$, perciò ti dovrai restringere al primo quadrante e considerare solo quando la funzione prende valori naturali.
Otterrai così un ramo di parabola "puntiforme".

[vikthor1]

$x1^2+2x1+3=x2^2+2x2+3$
$...$
$(x1−x2)(x1+x2+2)=0$

Da cui$ x1=x2$ oppure$ x1+x2=−2.$

non ho capito i tuoi passaggi. Potresti scrivermeli per intero? Grazie comunque

[feddy]

il tre si elide e ho raccolto il resto in modo opportuno...