[Esercizio] fattorizzazione polinomi
Dimostrare che [tex]x^2 +1[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] mentre è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_5 [x][/tex].
Che sia irriducibile in [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] è ovvio in quanto ha radici nel campo dei numeri complessi [tex]\mathbb{C}[/tex].
Invece per vedere se è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_5 [x][/tex] basta verificare che l'eventuale prodotto dei termini noti sia congruo a 1 modulo 5, e questo avviene per:
[tex](x+\bar{2})(x+\bar{3})=x^2 +\bar{3}x+\bar{2}x+\bar{6}=x^2+\bar{5}x+\bar{1}=x^2+\bar{0}x+\bar{1}=x^2 + \bar{1}[/tex].
E' corretto come ragionamento?
Che sia irriducibile in [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] è ovvio in quanto ha radici nel campo dei numeri complessi [tex]\mathbb{C}[/tex].
Invece per vedere se è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_5 [x][/tex] basta verificare che l'eventuale prodotto dei termini noti sia congruo a 1 modulo 5, e questo avviene per:
[tex](x+\bar{2})(x+\bar{3})=x^2 +\bar{3}x+\bar{2}x+\bar{6}=x^2+\bar{5}x+\bar{1}=x^2+\bar{0}x+\bar{1}=x^2 + \bar{1}[/tex].
E' corretto come ragionamento?
Risposte
Altro esercizio: dimostrare che il polinomio [tex]x^3 + x +\bar{1}[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex].
In questo caso non posso fare una verifica immediata come l'esercizio precedente, però sapendo che un polinomio [tex]f(x)[/tex] è divisibile per un polinomio lineare monico [tex]x - c[/tex], con [tex]c[/tex] radice del polinomio, allora potrei calcolare [tex]f(\bar{x})[/tex] per ogni [tex]\bar{x} \in \mathbb{Z}_5[/tex] e vedere se effettivamente il polinomio è riducibile o meno.
Con un anello così piccolo si può fare, ma se l'anello è più grande? Non riesco a trovare un modo più intelligente per farlo....
In questo caso non posso fare una verifica immediata come l'esercizio precedente, però sapendo che un polinomio [tex]f(x)[/tex] è divisibile per un polinomio lineare monico [tex]x - c[/tex], con [tex]c[/tex] radice del polinomio, allora potrei calcolare [tex]f(\bar{x})[/tex] per ogni [tex]\bar{x} \in \mathbb{Z}_5[/tex] e vedere se effettivamente il polinomio è riducibile o meno.
Con un anello così piccolo si può fare, ma se l'anello è più grande? Non riesco a trovare un modo più intelligente per farlo....
In effetti se è riducibile ammette almeno 1 radice nel campo, ergo dovresti provare le radici per verificare se effetivamente è così. Se ti chiede di dimostrare l'irriducibilità è ovvio che ti basta mostrare che nessun elemento è radice. Potrebbero esistere anche dei criteri più forti, in effetti, ma non ne sono a conoscenza (anzi, più probabile che non me li ricordo 
)
)
Ok, grazie per la risposta 
Sia [tex]D[/tex] un dominio di integrità finito con [tex]n[/tex] elementi distinti [tex]c_1, c_2, ..., c_n[/tex]. Si indichi con [tex]d[/tex] il polinomio [tex](x - x_1)(x - c_2)...(x - c_n)[/tex].
a) Dimostrare che due polinomi [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] hanno [tex]f^' =g^' \Leftrightarrow d|(f-g)[/tex]
b) calcolare il polinomio [tex]d[/tex] per [tex]D=\mathbb{Z}_3[/tex] e [tex]D=\mathbb{Z}_5[/tex]
Parto con la parte b) dell'esercizio che mi sembra più facile.
In [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] si ha [tex](x-\bar{0})(x-\bar{1})(x-\bar{2})=x^3+\bar{2}[/tex]
In [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] si ha [tex](x-\bar{0})(x-\bar{1})(x-\bar{2})(x-\bar{3})(x-\bar{4})=x^5+\bar{4}x[/tex]
Invece per la parte a) dell'esercizio, lavorando con i campi [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_5[/tex], ho fatto qualche prova e in effetti risulta quanto indicato, però non riesco a generalizzare la cosa. Cosa mi potete suggerire?
Grazie come sempre
a) Dimostrare che due polinomi [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] hanno [tex]f^' =g^' \Leftrightarrow d|(f-g)[/tex]
b) calcolare il polinomio [tex]d[/tex] per [tex]D=\mathbb{Z}_3[/tex] e [tex]D=\mathbb{Z}_5[/tex]
Parto con la parte b) dell'esercizio che mi sembra più facile.
In [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] si ha [tex](x-\bar{0})(x-\bar{1})(x-\bar{2})=x^3+\bar{2}[/tex]
In [tex]\mathbb{Z}_5[/tex] si ha [tex](x-\bar{0})(x-\bar{1})(x-\bar{2})(x-\bar{3})(x-\bar{4})=x^5+\bar{4}x[/tex]
Invece per la parte a) dell'esercizio, lavorando con i campi [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_5[/tex], ho fatto qualche prova e in effetti risulta quanto indicato, però non riesco a generalizzare la cosa. Cosa mi potete suggerire?
Grazie come sempre
Nel punto A dell'esercizio parli delle "derivate" di quei polinomi? O cosa? o.O
No, no, sono solo le interpretazioni dei polinomi come funzioni, cioè valutare [tex]f(x)[/tex] con [tex]x[/tex] assegnato.
Up, please
Faccio una rielaborazione del punto a)
PS: nel punto b), in $ZZ_3[x]$ il polinomio $d$ non è quello corretto
Presi due generici polinomi $f(x), g(x) in D[x]$,Forse così ti è più semplice dimostrarlo
sono equivalenti
[*:2q2rptn0]$f(c_1)=g(c_1)$, ... ,$f(c_n)= g(c_n)$
[/*:m:2q2rptn0]
[*:2q2rptn0] $(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)| f(x)-g(x)$[/*:m:2q2rptn0][/list:u:2q2rptn0]
PS: nel punto b), in $ZZ_3[x]$ il polinomio $d$ non è quello corretto
Hai ragione: [tex]x^3 +\bar{2}x[/tex].
Ora provo a ragionare sulla dimostrazione.
PS. grazie
Ora provo a ragionare sulla dimostrazione.
PS. grazie
"Gi8":
Faccio una rielaborazione del punto a)
Presi due generici polinomi $f(x), g(x) in D[x]$,Forse così ti è più semplice dimostrarlo
sono equivalenti
[*:2x0h5ekb]$f(c_1)=g(c_1)$, ... ,$f(c_n)= g(c_n)$
[/*:m:2x0h5ekb]
[*:2x0h5ekb] $(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)| f(x)-g(x)$[/*:m:2x0h5ekb][/list:u:2x0h5ekb]
PS: nel punto b), in $ZZ_3[x]$ il polinomio $d$ non è quello corretto
Se [tex]f(c_1)=g(c_1), f(c_2)=g(c_2),...,f(c_n)=g(c_n)[/tex] allora [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] hanno gli stessi fattori:
[tex](x-c_1), (x-c_2),...,(x-c_n)[/tex]
ossia saranno nella forma [tex](x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)[/tex] a meno di un fattore costante o un monomio:
[tex]f(x)=a(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)[/tex] e [tex]g(x)=b(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)[/tex], per [tex]a,b \in D[x][/tex].
Segue allora che se [tex](x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n) | f(x)[/tex] e [tex](x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n) | g(x)[/tex] divide anche la loro differenza: [tex]f(x)-g(x)=(a-b)[(x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)][/tex] da cui la tesi.
Io l'avrei detto così.
Se $f(c_i) = g(c_i)$ per ogni $i in {1,...,n}$ allora $f(c_i) - g(c_i) = 0$ in particolare questo è come dire che $c_i$ è radice del polinomio $f-g$ dunque il polinomio è divisibile per $(x - c_i)$. Siccome che valeva per tutti, sicuramente il polinomio $d$ così costruito dividerà $f-g$.
L'altra freccia funziona più o meno allo stesso modo.
Se $f(c_i) = g(c_i)$ per ogni $i in {1,...,n}$ allora $f(c_i) - g(c_i) = 0$ in particolare questo è come dire che $c_i$ è radice del polinomio $f-g$ dunque il polinomio è divisibile per $(x - c_i)$. Siccome che valeva per tutti, sicuramente il polinomio $d$ così costruito dividerà $f-g$.
L'altra freccia funziona più o meno allo stesso modo.
Mannaggia, così come lo hai scritto tu è decisamente più semplice 
Certo che me la complico la vita ehhhhh
Ma almeno può funzionare la mia dimostrazione, oppure conviene proprio rivederla?
Certo che me la complico la vita ehhhhh
Ma almeno può funzionare la mia dimostrazione, oppure conviene proprio rivederla?
Non seguo bene la prima parte, comunque nella mia c'è qualcosa che è dato per scontato, ovvero che $f(x) - g(x) = (f-g)(x)$ e il fatto che (teorema di Ruffini se non sbaglio?) l'esistenza di una certa radice $r$ implica la divisibilità per il fattore lineare $( x - r)$.
Avrei un altro esercizio:
sia [tex]A \in \lbrace \mathbb{Z} , \mathbb{Q}, \mathbb{R} \rbrace[/tex] e siano [tex]a,b \in A[/tex]. Mostrare che [tex]f(X)=X^3 - 3abX + a^3 + b^3 \in A[X][/tex] è riducibile in [tex]A[X][/tex]. Usare questo risultato per mostrare che [tex]X^6 - 6X^2 + 9[/tex] è riducibile in [tex]\mathbb{Z}[X][/tex].
In questo caso non so da dove partire. Se [tex]f(X)[/tex] è riducibile avrà una radice, ma che in forma??? [tex]-ab[/tex] oppure [tex]-(a+b)[/tex] ? In entrambi i casi se divido il polinomio per una delle due radici mi incarto....
sia [tex]A \in \lbrace \mathbb{Z} , \mathbb{Q}, \mathbb{R} \rbrace[/tex] e siano [tex]a,b \in A[/tex]. Mostrare che [tex]f(X)=X^3 - 3abX + a^3 + b^3 \in A[X][/tex] è riducibile in [tex]A[X][/tex]. Usare questo risultato per mostrare che [tex]X^6 - 6X^2 + 9[/tex] è riducibile in [tex]\mathbb{Z}[X][/tex].
In questo caso non so da dove partire. Se [tex]f(X)[/tex] è riducibile avrà una radice, ma che in forma??? [tex]-ab[/tex] oppure [tex]-(a+b)[/tex] ? In entrambi i casi se divido il polinomio per una delle due radici mi incarto....
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