Esercizio estensioni di Galois
Salve, sto provando da un giorno a svolgere questo esercizio sulla teoria di Galois, di cui ho svolto gli ultimi 3 punti. Però non so dove mettere le mani per quanto riguarda i primi due:
Sia $finQ[x]$ polinomio di grado 6 con $Gal(f/Q)~=S_6$. Chiamando $E$ il campo di spezzamento di f
i)Determinare i corpi intermedi $QsubeFsubeE$ tali che $[E]=9$
Beh qui io avevo pensato di provarci con la teoria di Sylow, arrivando a poter ammettere solo questi casi {1,4,10,16} ma comunque qui mi sono bloccato e sono piuttosto sicuro che ci sia un'altra maniera di risolverlo visto che queste cose le abbiamo usate in algebra 2.
ii) La intersezione di tutti i corpi $F$ contiene propriamente a $Q$.
Qui cercando un poco su internet ho visto che effettivamente i 3-sylow sono 10, quindi i corpi intermedi sono 10 e ho provato a ragionare su numero di elementi e cardinalità varie delle intersezioni ma è difficile fare tutti i conti quanto i corpi sono così tanti e la dimensione altrettanto.
Possibile che la chiave sia che il gruppo non sia solubile?
Davvero non so più dove sbattere la testa, spero possiate aiutarmi
Sia $finQ[x]$ polinomio di grado 6 con $Gal(f/Q)~=S_6$. Chiamando $E$ il campo di spezzamento di f
i)Determinare i corpi intermedi $QsubeFsubeE$ tali che $[E]=9$
Beh qui io avevo pensato di provarci con la teoria di Sylow, arrivando a poter ammettere solo questi casi {1,4,10,16} ma comunque qui mi sono bloccato e sono piuttosto sicuro che ci sia un'altra maniera di risolverlo visto che queste cose le abbiamo usate in algebra 2.
ii) La intersezione di tutti i corpi $F$ contiene propriamente a $Q$.
Qui cercando un poco su internet ho visto che effettivamente i 3-sylow sono 10, quindi i corpi intermedi sono 10 e ho provato a ragionare su numero di elementi e cardinalità varie delle intersezioni ma è difficile fare tutti i conti quanto i corpi sono così tanti e la dimensione altrettanto.
Possibile che la chiave sia che il gruppo non sia solubile?
Davvero non so più dove sbattere la testa, spero possiate aiutarmi
Risposte
La prima domanda e’ un po’ ambigua. Cosa vuol dire “determinare”?
Forse deve essere “Determinare [highlight]quanti[/highlight] campi intermedi $\ldots$”?
Allora per la teoria di Galois ci sono tanti quanti il numero di $3$-sottogruppi
di Sylow di $S_6$. Il sottogruppo generato dai $3$-cicli $(1\ 2\ 3)$ e $(4\ 5\ 6)$ e’
un $3$-sottogruppi di Sylow. Gli altri sono coniugati. Il numero
di $3$-sottogruppi di Sylow e’ quindi uguale al numero di partizioni
di $\{1,2,3,4,5,6\}$ in due parti di $3$ elementi.
Ce ne sono quindi $\frac{1}{2}((6),(3))=10$.
L'unione dei $3$-sottogruppi di Sylow consiste nei $3$-cicli e l'elemento neutro e genera quindi
il sottogruppo $A_6$. L’intersezione dei campi $F$ e’ quindi un’estensione quadratica di $QQ$
Forse deve essere “Determinare [highlight]quanti[/highlight] campi intermedi $\ldots$”?
Allora per la teoria di Galois ci sono tanti quanti il numero di $3$-sottogruppi
di Sylow di $S_6$. Il sottogruppo generato dai $3$-cicli $(1\ 2\ 3)$ e $(4\ 5\ 6)$ e’
un $3$-sottogruppi di Sylow. Gli altri sono coniugati. Il numero
di $3$-sottogruppi di Sylow e’ quindi uguale al numero di partizioni
di $\{1,2,3,4,5,6\}$ in due parti di $3$ elementi.
Ce ne sono quindi $\frac{1}{2}((6),(3))=10$.
L'unione dei $3$-sottogruppi di Sylow consiste nei $3$-cicli e l'elemento neutro e genera quindi
il sottogruppo $A_6$. L’intersezione dei campi $F$ e’ quindi un’estensione quadratica di $QQ$
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