Esercizio Esame Relazioni di Equivalenza

[Tittax]

Salve a tutti,
Ho questo esercizio sulle relazioni di equivalenza, che non riesco a risolvere. O per lo meno non so se sia giusto.
Allora l'esercizio è questo:
Scrivere una relazione di equivalenza $ Rsube{1,2,3,4,5}xx{1,2,3,4,5} $ che abbia 3 classi di equivalenza, indicandone l'insieme quoziente.
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

[killing_buddha]

Per esempio prova a prendere $\{1,2,3\}, \{4\}, \{5\}$; è un'equivalenza?

[Tittax]

Secondo me non è di equivalenza perché non rispettano le tre proprietà di una relazione di equivalenza.

[killing_buddha]

Intendo che quella è la partizione indotta dalla relazione $R$ (che quindi è $\Delta$ (la diagonale) unito $(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3)$); questa mi sembra un'equivalenza.

[gugo82]

"killing_buddha":Per esempio prova a prendere $\{1,2,3\}, \{4\}, \{5\}$; è un'equivalenza?

No... Al massimo queste sono le classi di equivalenza (ossia gli elementi del quoziente), ma non la relazione.

Poi, ovviamente e come ben si sa, ogni partizione di un insieme può essere considerata come quoziente rispetto ad un'appropriata unica relazione di equivalenza (e, viceversa, ogni relazione di equivalenza determina un'unica partizione dell'insieme in cui è definita); perciò assegnare una partizione equivale totalmente ad assegnare una relazione di equivalenza.

Nel caso proposto, la relazione di equivalenza che determina il quoziente i cui elementi sono stati segnalati da k_b è la \(\mathcal{R}\) che mette in relazione:
\[
\begin{split}
&1 \mathcal{R} 1,\ 1 \mathcal{R} 2,\ 1\mathcal{R} 3,\\
&2 \mathcal{R} 1,\ 2 \mathcal{R} 2,\ 2 \mathcal{R} 3,\\
&3 \mathcal{R} 1,\ 3 \mathcal{R} 2,\ 3 \mathcal{R} 3,\\
&4\mathcal{R} 4\\
&5 \mathcal{R} 5,
\end{split}
\]
e si vede "ad occhio" che \( \mathcal{R}\) è riflessiva e simmetrica; per controllare se è pure transitiva, rappresentala mediante un grafo orientato ed ispezionatelo.