Esercizio esame: Omomorfismi
Ho un grande dubbio circa un argomento XD Per esempio ho preso l'esercizio dello scorso appello d'esame:
Sia G il gruppo additivo $ ZZ 12 $ e sia H il suo gruppo moltiplicativo $ ZZ 12 $* . Quanti omomorfismi G->H ci sono? Quanti omomorfismi H->G ci sono?
Allora parto dal presupposto che entrambi sono abeliani, poi $ ZZ 12 $* è isomorfo al gruppo di Klein V4 e ha 4 elementi (1,5,7,11)
Ecco io ho provato a cercare esercizi simili su internet e alcuni li svolgono controllando quanti elementi del primo gruppo hanno ordine che divide la cardinalità del secondo, per esempio qui devo cercare gli elementi di $ ZZ 12 $ che hanno ord: 1,2,4...quindi sono 1,3,6,9...se non sbaglio e quindi gli omomorfismi tra i due gruppi sono 4...
E' giusto questo procedimento o no?
Sia G il gruppo additivo $ ZZ 12 $ e sia H il suo gruppo moltiplicativo $ ZZ 12 $* . Quanti omomorfismi G->H ci sono? Quanti omomorfismi H->G ci sono?
Allora parto dal presupposto che entrambi sono abeliani, poi $ ZZ 12 $* è isomorfo al gruppo di Klein V4 e ha 4 elementi (1,5,7,11)
Ecco io ho provato a cercare esercizi simili su internet e alcuni li svolgono controllando quanti elementi del primo gruppo hanno ordine che divide la cardinalità del secondo, per esempio qui devo cercare gli elementi di $ ZZ 12 $ che hanno ord: 1,2,4...quindi sono 1,3,6,9...se non sbaglio e quindi gli omomorfismi tra i due gruppi sono 4...
E' giusto questo procedimento o no?
Risposte
Il mio suggerimento è ragionare sulle cardinalità, utilizzando il teorema di omomorfismo!
Mmmm il teorema dell'omomorfismo mi dice che se ho un omomorfismo f: G->G' e se ho un sottogruppo normale N di G, con N che è contenuto nel Kerf allora c'è un unico omomorfismo h:G/N->G' giusto?
quindi io ho due gruppi abeliani e di conseguenza ogni sottogruppo è normale, quindi io dovrei prendere tutti i valori in questo caso di Z12 che appartengono al kerf?....o ho capito male?.......
quindi io ho due gruppi abeliani e di conseguenza ogni sottogruppo è normale, quindi io dovrei prendere tutti i valori in questo caso di Z12 che appartengono al kerf?....o ho capito male?.......
Bisogna vedere prima tutti i sottogruppi normali di $ZZ_12$ , e poi i sottogruppi del gruppo moltiplicativo. Quali potrebbero essere?
Tieni presente che il periodo di f(g) divide il periodo di g.
Come hai detto tu, in $ZZ_(12)^*$ c'è un elemento di periodo 1 e 3 elementi di periodo 2...quindi...
Come hai detto tu, in $ZZ_(12)^*$ c'è un elemento di periodo 1 e 3 elementi di periodo 2...quindi...
quindi in tutto ci dovrebbero essere 4 omomorfismi..
però allora i sottogruppi normali di Z12 sono prima i due sottogruppi banali cioè (e) e Z12 stesso e poi....
però allora i sottogruppi normali di Z12 sono prima i due sottogruppi banali cioè (e) e Z12 stesso e poi....
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