Esercizio esame (Anelli-Ideali)
Salve! lo scorso appello di algebra mi sono imbattuta in questo esercizio:
Siano R e S due anelli commutativi. Dimostrare che ogni ideale di R x S ha la forma I x J
dove I e un ideale di R e J e un ideale di S.
Ecco io so che R x S = {(r,s) : r appartiene a R, s appartiene a S } mentre I x J = { x1y1+x2y2+...xkyk+...., con xk appartenente a I e yk appartenente a J }
Io però non riesco a concludere nulla su quest'eservizio per caso qualcuno ha qualche idea di come si potrebbe svolgere?
Grazie : )
Siano R e S due anelli commutativi. Dimostrare che ogni ideale di R x S ha la forma I x J
dove I e un ideale di R e J e un ideale di S.
Ecco io so che R x S = {(r,s) : r appartiene a R, s appartiene a S } mentre I x J = { x1y1+x2y2+...xkyk+...., con xk appartenente a I e yk appartenente a J }
Io però non riesco a concludere nulla su quest'eservizio per caso qualcuno ha qualche idea di come si potrebbe svolgere?
Grazie : )
Risposte
No, [tex]R \times S = \{(r,s), r \in R, s \in s\}[/tex] e [tex]I \times J = \{(a,b), a \in I, b \in J\}[/tex]. Quella che hai scritto tu è la definizione dell'ideale prodotto di due ideali in uno stesso anello.
Veniamo all'esercizio. Sia [tex]A[/tex] un ideale di [tex]R \times S[/tex]. Denotiamo con [tex]\pi_1 : R \times S \to R[/tex] e [tex]\pi_2 : R \times S \to S[/tex] le proiezioni canoniche. Allora [tex]A_1 := \pi_1(A \cap (R \times \{0\}))[/tex] e [tex]A_2 := \pi_2(A \cap (\{0\} \times S))[/tex] sono ideali in (rispettivamente) [tex]R[/tex] e [tex]S[/tex] (controlla!).
Proviamo che [tex]A = A_1 \times A_2[/tex]. Sia [tex](r,s) \in A[/tex]. Allora [tex](r,0) = (1,0) (r,s) \in A[/tex] e [tex](0,s) = (0,1) (r,s) \in A[/tex] per definizione di ideale. Di conseguenza, [tex]r \in A_1, s \in A_2[/tex] e [tex](r,s) \in A_1 \times A_2[/tex], ossia [tex]A \subseteq A_1 \times A_2[/tex].
Viceversa, siano [tex]r \in A_1, s \in A_2[/tex]. Allora esistono [tex]r',s'[/tex] tali che [tex](r,s') \in A[/tex] e [tex](r',s) \in A[/tex]. Ma, ragionando come prima, si deduce che [tex](r,0), (0,s) \in A[/tex] e quindi [tex](r,s) = (r,0) + (0,s) \in A[/tex]. Quindi [tex]A_1 \times A_2 \subseteq A[/tex].
Pertanto, preso un ideale qualsiasi [tex]A[/tex] di [tex]R \times S[/tex] possiamo scrivere [tex]A = A_1 \times A_2[/tex] con [tex]A_1[/tex] ideale di [tex]R[/tex] e [tex]A_2[/tex] ideale di [tex]S[/tex].
Veniamo all'esercizio. Sia [tex]A[/tex] un ideale di [tex]R \times S[/tex]. Denotiamo con [tex]\pi_1 : R \times S \to R[/tex] e [tex]\pi_2 : R \times S \to S[/tex] le proiezioni canoniche. Allora [tex]A_1 := \pi_1(A \cap (R \times \{0\}))[/tex] e [tex]A_2 := \pi_2(A \cap (\{0\} \times S))[/tex] sono ideali in (rispettivamente) [tex]R[/tex] e [tex]S[/tex] (controlla!).
Proviamo che [tex]A = A_1 \times A_2[/tex]. Sia [tex](r,s) \in A[/tex]. Allora [tex](r,0) = (1,0) (r,s) \in A[/tex] e [tex](0,s) = (0,1) (r,s) \in A[/tex] per definizione di ideale. Di conseguenza, [tex]r \in A_1, s \in A_2[/tex] e [tex](r,s) \in A_1 \times A_2[/tex], ossia [tex]A \subseteq A_1 \times A_2[/tex].
Viceversa, siano [tex]r \in A_1, s \in A_2[/tex]. Allora esistono [tex]r',s'[/tex] tali che [tex](r,s') \in A[/tex] e [tex](r',s) \in A[/tex]. Ma, ragionando come prima, si deduce che [tex](r,0), (0,s) \in A[/tex] e quindi [tex](r,s) = (r,0) + (0,s) \in A[/tex]. Quindi [tex]A_1 \times A_2 \subseteq A[/tex].
Pertanto, preso un ideale qualsiasi [tex]A[/tex] di [tex]R \times S[/tex] possiamo scrivere [tex]A = A_1 \times A_2[/tex] con [tex]A_1[/tex] ideale di [tex]R[/tex] e [tex]A_2[/tex] ideale di [tex]S[/tex].
Capito! Grazie mille!
Ciao..scusate se riprendo il post ma avrei lo stesso problema...
!perchè prendo $A_1=\pi_1(AinnRx{0})$? non riesco a capire.... 
!perchè prendo $A_1=\pi_1(AinnRx{0})$? non riesco a capire....
E' la scelta naturale... si cerca di proiettare "sugli assi" l'ideale di cui cerchiamo la struttura. Mi rendo conto di aver complicato un po' troppo la faccenda. Basta prendere [tex]A_1 := \pi_1(A)[/tex] e [tex]A_2 := \pi_2(A)[/tex]. Dovrebbe funzionare ancora tutto a dovere, e dovrebbe pure essere più corto...
Si ma non capisco proprio il senso....Una volta che ho dato quelle condizioni cosa dico..?io vorrei usare il teorema di corrispondenza ma in questo caso $RxS$ dovrei mandarlo in $RxS$ modulo un suo ideale....e invece noi non stiamo facendo così....cosa stiamo facendo allora...?questo non riesco a capire...scusami...!
Scusate ma non posso fare così:
RxS è l'anello
A è l'ideale dell'anello
I è l'ideale di R
J è l'ideale di S.
Allora A deve avere per forza la forma $(a,b)$ perchè deve essere un sottogruppo additivo di $RxS$. E così abbiamo soddisfatto la prima condizione di ideale. Passiamo alla seconda:gli anelli R e S sono commutativi quindi i loro ideali sono bilateri. Se $(a,b) in A$ allora per quanto riguarda l'ideale destro $(a,b)(r,s)=(ar,bs)$ deve appartenere ad A, ma $arinI$, $bs inJ$ e quindi $A=IxJ$
Poi si fa la stessa cosa per l'ideale sinistro, ma siccome come ho gia detto gli ideli di R e S sono bilateri è la stessa cosa.
L'unica cosa che non mi convince è perchè $arinI$, $bs inJ$? è sicuro..?
RxS è l'anello
A è l'ideale dell'anello
I è l'ideale di R
J è l'ideale di S.
Allora A deve avere per forza la forma $(a,b)$ perchè deve essere un sottogruppo additivo di $RxS$. E così abbiamo soddisfatto la prima condizione di ideale. Passiamo alla seconda:gli anelli R e S sono commutativi quindi i loro ideali sono bilateri. Se $(a,b) in A$ allora per quanto riguarda l'ideale destro $(a,b)(r,s)=(ar,bs)$ deve appartenere ad A, ma $arinI$, $bs inJ$ e quindi $A=IxJ$
Poi si fa la stessa cosa per l'ideale sinistro, ma siccome come ho gia detto gli ideli di R e S sono bilateri è la stessa cosa.
L'unica cosa che non mi convince è perchè $arinI$, $bs inJ$? è sicuro..?
Non si capisce nulla. Chi sono I e J? Come li definisci?
Funziona prendendo [tex]I := \pi_1 (A)[/tex] e [tex]J := \pi_2 (A)[/tex]. In tal caso è precisamente il ragionamento che facevo io.
Funziona prendendo [tex]I := \pi_1 (A)[/tex] e [tex]J := \pi_2 (A)[/tex]. In tal caso è precisamente il ragionamento che facevo io.
Si si....li definisco proprio in quel modo...allora va bene il ragionamento?grazie maurer!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo