Esercizio dominio interi di gauss

[valerio19961]

Dimostrare che nessun primo della forma 4n + 3 si può scrivere nella forma a^2 + b^2 , con a e b interi.

Sulle dispense da cui studio c'è un aspetto della soluzione che non capisco:
Poiché dapprima si considera la somma a^2 + b^2 con a e b appartenenti a Z4 e si afferma che attraverso la "forza bruta" si riesce a dimostrare che a^2 + b^2 non è congruo a 3 mod 4 per a e b appartenenti a Z4 ( questa parte l ho capita) . Dopodiché si considera la somma a^2 + b^2 in Z e si afferma che a^2 + b^2 non è congruo a 3 mod 4 per ogni n in Z e proprio questa parte non mi è chiara perché non capisco il perché di considerare Z4 e poi affermare la non congruenza di a^2 + b^2 con 4n + 3 ...
Vi chiedo se potete darmi una mano a risolvere questo problema anche con soluzioni alternative da questa Ciao e grazie a tutti

[Shocker1]

Ciao

Effettivamente neanche io capisco il perché di quella frase, secondo me ha semplicemente tradotto il risultato ottenuto in $\mathbb{Z_4}$ negli interi. Forse è meglio se posti la dimostrazione completa, così possiamo aiutarti meglio.

Una dimostrazione veloce:

Sia $p \equiv 3 \mod 4$. Supponiamo esistano $a, b \in \mathbb{Z}$ per cui $p = a^2 + b^2$, vedendo l'uguaglianza modulo $4$ si ottiene $p \equiv a^2 + b^2 \mod 4$. Dato che $p$ è dispari allora uno fra $a, b$ è pari mentre l'altro è dispari. Senza perdita di generalità supponiamo $a$ pari e $b$ dispari, allora $a^2 \equiv 0 \mod 4$ e $b^2 \equiv 1 \mod 4$(si verifica a mano facendo i quadrati delle classi di resto), dunque si avrebbe $p \equiv a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod 4$, assurdo perché $p \equiv 3 \mod 4$.

[valerio19961]

Ciao grazie per la risposta la dimostrazione si conclude dopo aver affermato la non congruenza tra a^2 + b^2 con 4n + 3 , dicendo che se se p é della forma 4n + 3 allora non può essere p della forma a^2 + b^2 per ogni a b appartenenti a Z. Quello che non capisco é se sia possibile considerare dapprima l esempio in Z4 e poi considerarlo valido in Z ce non capisco perché la condizione in Z4 debba necessariamente valere anche in Z

[Shocker1]

Ciao

"valerio1996":Ciao grazie per la risposta la dimostrazione si conclude dopo aver affermato la non congruenza tra a^2 + b^2 con 4n + 3 , dicendo che se se p é della forma 4n + 3 allora non può essere p della forma a^2 + b^2 per ogni a b appartenenti a Z. Quello che non capisco é se sia possibile considerare dapprima l esempio in Z4 e poi considerarlo valido in Z ce non capisco perché la condizione in Z4 debba necessariamente valere anche in Z

Vedila così: se fosse $a^2 + b^2 \equiv 3 \mod 4$ allora $\exists n \in \mathbb{Z} : a^2 + b^2 = 4n + 3$(ho applicato solo la definizione di congruenza), noi però sappiamo che $a^2 + b^2 \ne 3 \mod 4$ il che implica che non esiste alcun $n$ per cui $a^2 + b^2 = 4n + 3$, cioè, negando per bene i quantificatori: $a^2 + b^2 != 3 \mod 4 \iff \forall n \in \mathbb{Z}$ $a^2 + b^2 != 4n + 3$, data l'arbitrarietà di $a, b \in \mathbb{Z}$ hai che $\forall a, b \in \mathbb{Z}$ t.c $p = a^2 + b^2$ vale che $\forall n \in \mathbb{Z}$ $a^2 + b^2 != 4n + 3$ ma dato che $p \equiv 3 \mod 4$ allora $p$ non può essere della forma del tipo $a^2 + b^2$ con $a, b \in \mathbb{Z}$. E' più chiaro o ho complicato le cose?