Esercizio dominio di integrità
Sia $A$ un dominio di integrità. Siano $a, b in A$ ed $n,m$ interi positivi coprimi. Dimostrare che se $a^n =b^n$ e $a^m = b^m$ allora $a=b$.
Se $n,m$ sono coprimi esistono interi $\alpha, \beta$ tali che $1=n\alpha + m\beta$ ...
Quindi abbiamo che se $a^{n} = b^{n}$ allora $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ ovvero $a^{1-m\beta} = b^{1-m\beta}$. Siccome siamo in un dominio abbiamo che $a^{1-m\beta} = a * (a^{m})^{-\beta} = b * (b^{m})^{-\beta}$ ma per ipotesi so che $a^{m} = b^{m}$ da cui si ottiene $a * b * (b^{m})^{-\beta} = b* (b^{m})^{-\beta}$ quindi $a = b$.
M non capisco l'ipotesi di avere un dominio di integrità.. In quanto non uso mai questa caratteristica nella deimostrazione.
Se $n,m$ sono coprimi esistono interi $\alpha, \beta$ tali che $1=n\alpha + m\beta$ ...
Quindi abbiamo che se $a^{n} = b^{n}$ allora $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ ovvero $a^{1-m\beta} = b^{1-m\beta}$. Siccome siamo in un dominio abbiamo che $a^{1-m\beta} = a * (a^{m})^{-\beta} = b * (b^{m})^{-\beta}$ ma per ipotesi so che $a^{m} = b^{m}$ da cui si ottiene $a * b * (b^{m})^{-\beta} = b* (b^{m})^{-\beta}$ quindi $a = b$.
M non capisco l'ipotesi di avere un dominio di integrità.. In quanto non uso mai questa caratteristica nella deimostrazione.
Risposte
Hai già fatto questa domanda in un altro thread e ti è già stato risposto...
Prova a scegliere $b=0$. Quell'affermazione è vera in questo caso, se $A$ non è dominio di integrità?
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