Esercizio dimostrazione equivalenze modulo m
Ho questo esercizio.
Siano $m_{1}, m_{2}$ coprimi fra loro ed $m = m_{1} * m_{2}$
(Ipotesi ) Se $m_{1} | f(x)$ e $m_{2} | f(x)$ - ovvero, questo significa che esistono interi $c, c'$ tali che $m_{1} | f(c)$ e $m_{2} | f(c')$ - devo mostrare che se valgono le seguenti condizioni allora $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzione.
Quindi devo mostrare che se $m_{1}$ è coprimo con $m_{2}$ allora $m = m_{1}*m_{2} | f(x)$ ovvero che $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzioni.
Dalle ipotesi segue che esistono interi $z, z'$ tali che $m_{1}*z = f(c)$ e $m_{2}*z' = f(c')$.
Quindi $m_{1}*m_{2}*(z*z') = f(c)*f(c')$ cioè $m(z*z') = f(c)*f(c')$ da cui segue che $f(c)*f(c') \equiv 0 mod m$ ma da qui ad arrivare alla tesi non riesco.
Quindi vi chiedo un consiglio su come proseguire.. Grazie
Siano $m_{1}, m_{2}$ coprimi fra loro ed $m = m_{1} * m_{2}$
(Ipotesi ) Se $m_{1} | f(x)$ e $m_{2} | f(x)$ - ovvero, questo significa che esistono interi $c, c'$ tali che $m_{1} | f(c)$ e $m_{2} | f(c')$ - devo mostrare che se valgono le seguenti condizioni allora $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzione.
Quindi devo mostrare che se $m_{1}$ è coprimo con $m_{2}$ allora $m = m_{1}*m_{2} | f(x)$ ovvero che $f(x) \equiv 0 mod m$ ammette soluzioni.
Dalle ipotesi segue che esistono interi $z, z'$ tali che $m_{1}*z = f(c)$ e $m_{2}*z' = f(c')$.
Quindi $m_{1}*m_{2}*(z*z') = f(c)*f(c')$ cioè $m(z*z') = f(c)*f(c')$ da cui segue che $f(c)*f(c') \equiv 0 mod m$ ma da qui ad arrivare alla tesi non riesco.
Quindi vi chiedo un consiglio su come proseguire.. Grazie
Risposte
Ho provato ad andare avanti.... E ripetendo il ragionamento da capo ho risolto così
Se $f(x) \equiv 0 mod m_{1}$ e $f(x) \equiv 0 mod m_{2}$ allora esistono interi $c, c'$ tali che $f(c) \equiv 0 mod m_{1}$ e $f(c') \equiv 0 mod m_{2}$.
Quindi esistono interi $z, z'$ tali che $f(c) = m_{1}*z $ e $f(c') = m_{2}*z'$.
Da cui abbiamo che $f(c)*f(c') = m_{1}*z * m_{2}*z' = m (z*z') \equiv 0 mod m$ e quindi abbiamo che dalle proprietà del prodotto $0 mod m \equiv f(c) \mod m * f(c') mod m$.
Sia, senza perdita di generalità, $f(c) mod m \equiv 0 mod m$ cioè l'equivalenza $f(x) \equiv 0 mod m$ ha soluzione che è appunto $c$.
Spero sia giusto.. e attendo una vostra risposta.
Se $f(x) \equiv 0 mod m_{1}$ e $f(x) \equiv 0 mod m_{2}$ allora esistono interi $c, c'$ tali che $f(c) \equiv 0 mod m_{1}$ e $f(c') \equiv 0 mod m_{2}$.
Quindi esistono interi $z, z'$ tali che $f(c) = m_{1}*z $ e $f(c') = m_{2}*z'$.
Da cui abbiamo che $f(c)*f(c') = m_{1}*z * m_{2}*z' = m (z*z') \equiv 0 mod m$ e quindi abbiamo che dalle proprietà del prodotto $0 mod m \equiv f(c) \mod m * f(c') mod m$.
Sia, senza perdita di generalità, $f(c) mod m \equiv 0 mod m$ cioè l'equivalenza $f(x) \equiv 0 mod m$ ha soluzione che è appunto $c$.
Spero sia giusto.. e attendo una vostra risposta.
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