Esercizio di teoria di campi

[hubabuba]

Salve a tutti! Avrei bisogna di una mano per questo esercizio. Grazie.

Sia $ E|F $ un'estensione di campi, e siano $ a,b in E $, con $ a $ algebrico su $ F $ e $ b $ trascendente su $ F $. Si provi che $ F[a] nn F= F $ .

[Gi81]

Non siamo qui per risolverti gli esercizi. Proponi un tuo tentativo di soluzione

[hubabuba]

Sappiamo che $ F sube F[a] nn F $.
Adesso devo provare che $ F[a] nn F sube F $.
Sia g(x) il polinomio minimo di a su E di grado n. Il sua campo di spezzamento è $ E'= F[a] $. Il grado di $ [F[a]:F]=n $ .
Poiché l'elemento b è trascendente su F il grado di $ [F:F]=oo $
Pero questo b sara radice di un altro polinomio $ f(x) in F(a)[ x] $ di grado m . Il sua campo di spezzamento è $ E= F(a)[ b] $ .
Dunque il grado dell'estensione $ E|F $ sara $ [F(a)[ b]: F ]=[F(a)[ b]:F(a) ][F(a):F ]= mn $

Fino qui arrivo poi non riesco a risolvere. Mi potete dare un idea come devo procedere. Grazie

[maurer]

"hubabuba":
Poiché l'elemento b è trascendente su F il grado di [tex][F(b):F] = \infty[/tex]
Pero questo b sara radice di un altro polinomio $ f(x) in F(a)[ x] $ di grado m .

Argh!
Trascendente su [tex]F[/tex] = non è radice di alcun polinomio a coefficienti in [tex]F[/tex].
Sapendo poi che il composto di due estensioni algebriche è ancora algebrica, concludiamo che [tex]b[/tex] deve necessariamente essere trascendente su [tex]F(a)[/tex].

Di qui non si passa...

Potrebbe servirti dimostrare questo lemma:

Lemma. Sia [tex]h(X)[/tex] una funzione razionale a coefficienti nel campo [tex]F[/tex] e supponiamo che sia definita sull'elemento [tex]a \in F[/tex]. Allora [tex]a[/tex] e [tex]h(a)[/tex] sono o entrambi trascendenti o entrambi algebrici.

[hubabuba]

Cioè se io suppongo che $ a $ è radice di un polinomio f(x) qualsiasi a coefficienti su F allora il grado del estensione è uguale con il grado di questo polinomio. Allora dalla lemma anche $h(a)$ è radice di questo polinomio su F. Quindi il grado del estensione $ E|F $ sarà uguale ...

Purtroppo non riesco a farlo, mi mancano alcuni nozioni teorici. Nelle dispense del professore non c'è questa lemma. Mi può dire dove posso trovare la dimostrazione.

[maurer]

Alcune cose:

1) potresti imparare i generi delle parole italiane. I tuoi messaggi sono veramente sgradevoli da leggersi.
2) il lemma (è maschile!) non è standard, cioè solitamente non è incluso in corsi ordinari. Io l'ho incontrato come esercizio, ma è utile ricordarselo in alcune situazioni, tipo questa.
3) ti ho proposto il lemma perché tu provassi a dimostrarlo. Ritengo che sia un buon esercizio per prendere familiarità con questo tipo di concetti.
4) Tu scrivi



"hubabuba":Cioè se io suppongo che $a$ è radice di un polinomio f(x) qualsiasi a coefficienti su F allora il grado del estensione è uguale con grado di questo polinomio. Allora dalla lemma anche $h(a)$ è radice di questo polinomio su F. Quindi il grado del estensione $E|F$ sarà uguale ...



Ma interpreti davvero male il contenuto del lemma: quest'ultimo mi assicura che se [tex]a[/tex] è radice di un polinomio [tex]f(X) \in F[X][/tex], allora esiste un polinomio [tex]g(X) \in F[X][/tex] (eventualmente diverso da [tex]f(X)[/tex]) che annulla [tex]h(a)[/tex]. Non ho alcuna informazione circa i gradi dei due polinomi (anche se qualcosa in più potrebbe essere detto a partire dalla dimostrazione del lemma).
5) per tornare al tuo esercizio, forti del lemma, potresti provare a considerare un generico elemento [tex]c \in F[a] \cap F(b)[/tex] e chiederti se per caso può essere (per assurdo!) [tex]c \not \in F[/tex]...
[/list:u:veg77qyf]

[hubabuba]

Riguardo al esercizio:

Sia $ h(x)=f(x) // g(x) $ un funzione razionale.

$ f(x),g(x) in F[x] $ è $ g(x)!= 0 $ ,

Sia $ c in F[a] nn F$

Supponiamo per assurdo che $ c $ appartiene E\F

Sia $ c $ radice del polinomio f(x) su F.

Allora $ g(x)h(x)=f(x) $

cioè $ g(c)h(c)=f(c)=0 $

Poiché $ g(x)!= 0 $

$h(c)=0$

Quindi $ c $ è radice anche del polinomio $ h(x) $.

Dal lemma $ h(c) $ e $ c $ devono essere entrambi algebrici o trascendenti su $ F $ contraddicendo i condizioni del problema.

Quindi $ c in F $

[maurer]

"hubabuba":Riguardo al esercizio:
Sia $ h(x)=f(x) // g(x) $ un funzione razionale.
$ f(x),g(x) in F[x] $ è $ g(x)!= 0 $ ,
Sia $ c in F[a] nn F$
Supponiamo per assurdo che $ c $ appartiene E\F
Sia $ c $ radice del polinomio f(x) su F.
Allora $ g(x)h(x)=f(x) $
cioè $ g(c)h(c)=f(c)=0 $
Poiché $ g(x)!= 0 $
$h(c)=0$
Quindi $ c $ è radice anche del polinomio $ h(x) $.
Dal lemma $ h(c) $ e $ c $ devono essere entrambi algebrici o trascendenti su $ F $ contraddicendo i condizioni del problema.
Quindi $ c in F $

Ci sono innumerevoli punti sbagliati. Ripercorro il tuo ragionamento.
1) fissi una funzione razionale [tex]h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/tex] all'inizio del discorso (e, vorrei farti notare, se fissi un oggetto poi te lo tieni così com'è, non è che ci aggiungi proprietà a casaccio quando ti fanno più comodo);
2) fissi un elemento [tex]c \in F(a) \cap F(b)[/tex] e supponi per assurdo che [tex]c \in E \setminus F[/tex].
3)a questo punto supponi che [tex]c[/tex] sia radice di un polinomio a coefficienti in [tex]F[/tex], cosa che non è lecita perché sappiamo che in [tex]E[/tex] c'è almeno un elemento ([tex]b[/tex]) che è trascendente su [tex]F[/tex]. Inoltre non ti accontenti di assumere che [tex]c[/tex] sia algebrico su [tex]F[/tex], ma vuoi che [tex]c[/tex] sia radice precisamente del polinomio [tex]f(x)[/tex], il numeratore della funzione razionale [tex]h(x)[/tex] fissata all'inizio del discorso.
Questo basta e avanza per invalidare il resto del discorso.

Ti do un altro suggerimento: supponiamo per assurdo che si abbia [tex]c \in F(a) \cap F(b)[/tex] e contemporaneamente si abbia [tex]c \not \in F[/tex]. Chiediti: di che forma è [tex]c[/tex]? Cioè: come si scrivono gli elementi di un'estensione semplice (algebrica o trascendente che sia)?

P.S. funzione è un termine femminile: una funzione, non un funzione.